2020年江苏省高考数学试卷（全解析版）

2020 年江苏省高考数学试卷 一、填空题： 本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1 ．已知集合 ， 0 ， 1 ， ， ， 2 ， ，则 　　 ． 2 ．已知 是虚数单位，则复数 的实部是 　　 ． 3 ．已知一组数据 4 ， ， ， 5 ， 6 的平均数为 4 ，则 的值是 　　 ． 4 ．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 　　 ． 5 ．如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是 　　 ． 6 ．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是 　　 ． 7 ．已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是 　　 ． 8 ．已知 ，则 的值是 　　 ． 9 ．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 ，高为 ，内孔半径为 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 　　 ． 10 ．将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程是 　　 ． 11 ．设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列．已知数列 的前 项和 ，则 的值是 　　 ． 12 ．已知 ，则 的最小值是 　　 ． 13 ．在 中， ， ， ， 在边 上，延长 到 ，使得 ．若 为常数），则 的长度是 　　 ． 14 ．在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 、 是圆 上的两个动点，满足 ，则 面积的最大值是 　　 ． 二、解答题： 本大题共 6 小题，共计 90 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15 ．（ 14 分）在三棱柱 中， ， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点． （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）求证：平面 平面 ． 16 ．（ 14 分）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ， ， ． （ 1 ）求 的值； （ 2 ）在边 上取一点 ，使得 ，求 的值． 17 ．（ 14 分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 在水平线 上，桥 与 平行， 为铅垂线 在 上）．经测量，左侧曲线 上任一点 到 的距离 （米 与 到 的距离 （米 之间满足关系式 ；右侧曲线 上任一点 到 的距离 （米 与 到 的距离 （米 之间满足关系式 ．已知点 到 的距离为 40 米． （ 1 ）求桥 的长度； （ 2 ）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 和 ，且 为 80 米，其中 ， 在 上（不包括端点）．桥墩 每米造价 （万元），桥墩 每米造价 （万元） ，问 为多少米时，桥墩 与 的总造价最低？ 18 ．（ 16 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆 上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 相交于另一点 ． （ 1 ）求 的周长； （ 2 ）在 轴上任取一点 ，直线 与椭圆 的右准线相交于点 ，求 的最小值； （ 3 ）设点 在椭圆 上，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，求点 的坐标． 19 ．（ 16 分）已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒有 ． （ 1 ）若 ， ， ，求 的表达式； （ 2 ）若 ， ， ， ，求 的取值范围； （ 3 ）若 ， ， ， ， ， ，求证： ． 20 ．（ 16 分）已知数列 的首项 ，前 项和为 ．设 和 为常数，若对一切正整数 ，均有 成立，则称此数列为“ ”数列． （ 1 ）若等差数列 是“ ”数列，求 的值； （ 2 ）若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式； （ 3 ）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 为“ ”数列，且 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由． 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 . 若多做，则按作答的前两小题评分 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.[ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ] （本小题满分 10 分） 21 ．（ 10 分）平面上的点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ． （ 1 ）求实数 ， 的值； （ 2 ）求矩阵 的逆矩阵 ． B.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （本小题满分 10 分） 22 ．（ 10 分）在极坐标系中，已知 ， 在直线 上，点 ， 在圆 上（其中 ， ． （ 1 ）求 ， 的值； （ 2 ）求出直线 与圆 的公共点的极坐标． C.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （本小题满分 0 分） 23 ．设 ，解不等式 ． 【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 24 ．（ 10 分）在三棱锥 中，已知 ， ， 为 的中点， 平面 ， ， 为 中点． （ 1 ）求直线 与 所成角的余弦值； （ 2 ）若点 在 上，满足 ，设二面角 的大小为 ，求 的值． 25 ．（ 10 分）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 ，恰有 2 个黑球的概率为 ，恰有 1 个黑球的概率为 ． （ 1 ）求 ， 和 ， ； （ 2 ）求 与 的递推关系式和 的数学期望 （用 表示）． 2020 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题： 本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1 ．已知集合 ， 0 ，