湖南省
大联考雅礼十六校
2022
届高三第二次联考
数学
一､选择题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1.
已知集合
，下列选项中均为
A
的元素的是（
）
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
A.
（
1
）（
2
）
B.
（
1
）（
3
）
C.
（
2
）（
3
）
D.
（
2
）（
4
）
2.
某圆锥高为
1
，底面半径为
，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（
）
A.
2
B.
C.
D.
1
3.
有一个非常有趣的数列
叫做调和数列，此数列的前
n
项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当
n
很大时，
，其中
称为欧拉
-
马歇罗尼常数，
…
，至今为止都还不确定
是有理数还是无理数．由于上式在
n
很大时才成立，故当
n
较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知
，
．用上式估算出的
与实际的
的误差绝对值近似为（
）
A
0.003
B.
0.096
C.
0.121
D.
0.216
4.
在正三角形
中，
为
中点，
为三角形内一动点，且满足
，则
最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
5.
已知
的一条切线
与
f
（
x
）有且仅有一个交点，则（
）
A.
B.
C.
D.
6.
从正
360
边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（
）
A.
360
B.
630
C.
1170
D.
840
7.
已知数列
{
}
满足
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
8.
､
､
是等腰直角三角形
（
）内的点，且满足
，
，
，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
二､多选题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
.
全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分
9.
下列说法正确的有（
）
A.
一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据就是中位数
B.
分层抽样为保证每个个体等可能入样，需在各层中进行简单随机抽样
C.
若
A
∩
B
为不可能事件，
A
∪
B
为必然事件，则事件
A
与事件
B
互为对立事件
D.
线性回归分析中，
的值越小，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好
10.
已知曲线
：
，焦点为
､
，
，过
的直线
与
交于
两点，则下列说法正确的有（
）
A.
是
的一条对称轴
B.
的离心率为
C
对
C
上任意一点
P
皆有
D.
最大值为
11.
勒洛四面体是一个非常神奇的
“
四面体
”
，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动
.
勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体
ABCD
的棱长为
a
，则（
）
A.
能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为
a
B.
勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C.
勒洛四面体的截面面积的最大值为
D.
勒洛四面体的体积
12.
下列不等式正确的有（
）
A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13.
已知复数
，则
=
___________
.
14.
设函数
，参数
，过点（
0
，
1
）作曲线
C
：
的切线（斜率存在）则切线斜率为
___________
.
15.
已知双曲线
的左右焦点分别为
F
1
，
F
2
，若
C
与直线
有交点，且双曲线上存在不是顶点的
P
，使得
，则双曲线离心率取值范围范围为
___________
.
16.
坐标平面上有一环状区域由圆
的外部与圆
的内部交集而成
.
某同学欲用一支长度为
1
的笔直扫描棒来扫描此环状区域的
x
轴上方的某区域
R
.
他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆
､
上移动
.
开始时扫描棒黑端在点
，白端在
的点
B
.
接着黑､白两端各沿着
､
逆时针移动，直至白端碰到
的点
便停止扫描，则
B
坐标
___________
；扫描棒扫过的区域
R
的面积为
___________
.
四､解答题：本题共
6
小题，共
70
分
.
解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤
17.
中，
的对边分别为
.
若
，
，求
的最小值
.
18.
已知数列
{
}
满足
∈
N
*
，
为该数列的前
n
项和
.
（
1
）求证：数列
{
}
为递增数列；
（
2
）求证：
19.
“
不关注分数，就是对学生的今天不负责：只关注分数，就是对学生的未来不负责
.”
为锻炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份
x
2
4
6
8
10
12
净利润（万元〕
y
0.9
2.0
4.2
3.9
5.2
5.1
（
1
）设
.
试建立
y
关于
x
的非线性回归方程
和
（保留
2
位有效数字）；
（
2
）从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年
2
月（
）的净利润（保留
1
位小数）
.
附：
①
相关系数
，回归直线
中斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为
；
②
参考数据：
，
20.
类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图
1
，由射线
，
，
构成的三面角
，
，
，
，二面角
的大小为
，则
．
（
1
）当
、
时，证明以上三面角余弦定理；
（
2
）如图
2
，四棱柱
中，平面
平面
，
，
，
①
求
的余弦值；
②
在直线
上
精品解析：湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届高三下学期第二次联考数学试题
