湖南省
雅礼十六校
2023
届高三上学期第一次联考
数学
审定:何方蔚
李罗思
徐宇珩
校对:肖志泽
肖永浩
总分:
150
分
时量:
120
分钟
注意事项:
1
.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上.
2
.回答选择题时,选出每小题答案后,用
2B
铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3
.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
下列不属于
的展开式的项的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.
已知非空集合
,
其中
,若满足
,则
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
3.
已知复数
,
与
共轭,
,
且
,则
的值为(
)
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
4.
已知
三边
所对角分别为
,且
,则
的值为(
)
A.
-1
B.
0
C.
1
D.
以上选项均不正确
5.
已知正项数列
满足
,且
,
为
前
100
项和,
下列说法正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.
长沙市雅礼中学(雅礼)、华中师范大学第一附属中学(华一)、河南省实验中学(省实验)三校参加华中名校杯羽毛球团体赛.
这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测:
罗老师:雅礼是第二名或第三名,华一不是第三名;
魏老师:华一是第一名或第二名,雅礼不是第一名;
贾老师:华一是第三名;
关老师:省实验不是第一名;
其中只有一位老师预测对了,则正确的是(
)
A.
罗老师
B.
魏老师
C.
贾老师
D.
关老师
7.
若
,(
)试比较
的大小关系(
)
A.
B.
C.
D.
8.
已知双曲线
,若过点
能作该双曲线的两条切线,则该双曲线离心率
取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
以上选项均不正确
二、选择题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5
分,部分选对的得
2
分,有选错的得
0
分.
9.
某市有
A
,
B
,
C
,
D
四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览
A
概率为
,游览
B
,
C
,
D
的概率都是
,且该游客是否游览这四个景点相互独立
.
用随机变量
X
表示该游客游览景点的个数,下列说法正确的是(
)
A.
该游客至多游览一个景点的概率为
B.
C.
D.
10.
如果一个无限集中
元素可以按照某种规律排成一个序列(或者说,可以对这个集合的元素标号表示为
),则称其为可列集.下列集合属于可列集的有(
)
A.
B.
Z
C.
Q
D.
R
11.
已知某四面体的四条棱长度为
,另外两条棱长度为
,则下列说法正确的是(
)
A.
若
且该四面体的侧面存在正三角形,则
B.
若
且该四面体的侧面存在正三角形,则四面体的体积
C.
若
且该四面体的对棱均相等,则四面体的体积
D.
对任意
,记侧面存在正三角形时四面体的体积为
,记对棱均相等时四面体的体积为
,恒有
12.
已知函数
,下列说法不正确的是(
)
A.
当
时,函数
仅有一个零点
B.
对于
,函数
都存在极值点
C.
当
时,函数
不存
极值点
D.
,使函数
都存在
3
个极值点
三、填空题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分.
13.
已知
,则
的最大值为
_______
.
14.
已知向量
与
的夹角为
,且
,
,若
与
的夹角为锐角,则
的取值范围是
_______
.
15.
已知双曲线
的左、右焦点分别为
,过点
作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点
(
在同一象限内),且满足
.
联结
,满足
.
若该双曲线的离心率为
,求
的值
_______
.
16.
若关于
x
的不等式
恒成立,则
的最大值是
________________.
四、解答题:本题共
6
小题,共
70
分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17.
定义
(
1
)证明:
(
2
)解方程:
18.
已知单调递减
正项数列
,
时满足
.
为
前
n
项和.
(
1
)求
的通项公式;
(
2
)证明:
.
19.
如图,在以
P
,
A
,
B
,
C
,
D
为顶点的五面体中,四边形
ABCD
为等腰梯形,
∥
,
,平面
平面
,
.
(
1
)求证:平面
平面
;
(
2
)若二面角
的余弦值为
,求直线
PD
与平面
PBC
所成角的正弦值.
20.
现有一批疫苗试剂,拟进入动物试验阶段,将
1000
只动物平均分成
100
组,任选一组进行试验.第一轮注射,对该组的每只动物都注射一次,若检验出该组中有
9
只或
10
只动物产生抗体,说明疫苗有效,试验终止;否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射,再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体,说明疫苗有效,否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立,两次注射疫苗互不影响,且产生抗体的概率均为
.
(
1
)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含
的多项式表示);
(
2
)记该组动物需要注射次数
的数学期望为
,求证:
.
21.
已知平面直角坐标系中有两点
,且曲线
上的任意一点
P
都满足
.
(
1
)求曲线
的轨迹方
精品解析:湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题