江苏省新高考基地学校2023-2024学年高三上学期第三次大联考数学试题（原卷全解析版）

2024 届新高考基地学校第三次大联考 数 学 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效． 3 ．本卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知直线 与曲线 相切，则实数 k 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 是 的边 上的高，且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 设点 ，抛物线 上的点 P 到 y 轴的距离为 d ．若 的最小值为 2 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知 是等差数列，且 ， ，则 （ ） A. 15 B. 26 C. 28 D. 32 8. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为 ， ，侧面积为 S ，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 在四棱锥 中，底面 是菱形， P 在底面上的射影 E 在线段 上，则（ ） A. B. C. 平面 D. ⊥ 平面 10. 设矩形的长是宽的 2 倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线 W 经过另外两个顶点，则 W 的离心率的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 在生物科学和信息科学中，经常用到 “ S 型 ” 函数： ，其导函数为 ，则（ ） A. 有极值点 B. 点 是曲线 对称中心 C. 是偶函数 D. ， 12. 某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有 A 和 B 两种结果．第一轮是对所有生产产品进行检测，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品需进行第二轮检测．在第二轮检测中，检测结果为 B 的产品定等级为乙；检测结果为 A 的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结果为 A 的概率是 0.95 ，乙等品检测结果为 A 的概率是 0.05 ．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为 ，则（ ） A. 已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是 0.0025 B. 已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是 0.0025 C. 从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为 0.8125 D. 已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于 0.001 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为 3 ，则这样的五位数共有 ______ 个． 14. 已知圆 C 的半径为 5 ，圆心 C 在第一象限，且直线 与 x 轴截圆 C 所得弦长都为 6 ，则圆心 C 的横坐标为 ______ ． 15. 写出同时满足下列条件 ①②③ 的一个函数 ______ ． ① 二次函数； ② 是奇函数； ③ 在 上是减函数． 16. 把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 的图象关于原点对称，则 的最小值为 ______ ；若曲线 上存在唯一一点 ， ，满足点 A 关于原点的对称点 B 也在曲线 上，则 的取值范围是 ______ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等比数列 的公比 ，且 ， ． （ 1 ） 求 的通项公式； （ 2 ） 设 ，求 的前 项和 ． 18. 某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过 m 元的顾客参加一次抽奖．抽奖规则如下：从装有大小、形状完全相同的 4 个黑球 2 个红球的盒子中随机取 2 个小球，若 2 个小球都为红色，则获 100 元奖金；若 2 个小球为 1 红 1 黑，则获 30 元奖金；若 2 个小球都为黑色，则获 10 元奖金． （ 1 ） 记参加抽奖的一名顾客获得奖金为 X 元，求 X 的概率分布列和数学期望； （ 2 ） 该超市去年店庆日共有 3000 名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图．若今年抽奖活动总奖金预设为 12000 元，依据去年店庆日的数据，给出合理的 m 的值，并说明理由． 19. 记 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 ， ． （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若 D 是边 上一点， ，且 ，求 的面积， 20. 如图，在直三棱柱 中， ， ，两个质点分别从点 和点 同时出发，均以每秒 个单位长度 速度分别向点 ， 作直线移动 . 如图，点 , 分别是两质点移动 秒后到达的位置． （ 1 ） 证明： 平面 ； （ 2 ） 当三棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 21 已知函数 ． （ 1 ） 若 在 上单调递减，求 a 的取值范围； （ 2 ） 若 的最小值为 3 ，求 a ． 22. 已知椭圆 的离心率为 ，斜率为 2 的直线 l 与 x 轴交于点 M ， l 与 C 交于 A ， B 两点， D 是 A