2023-2024学年福建省厦门市第一中学高二上学期1月期末质量检测数学试题(原卷解析版）

厦门市2023-2024学年第一学期高二年级质量检测 数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知等比数列 满足 ， ，则 （ ） A. B. C.3 D. 2.已知直线 的倾斜角为 ，直线 过点 ，若 ，则 在 轴上的截距为（ ） A. B. C.2 D. 3.点 到双曲线 的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4.在四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D.1 6.已知椭圆 的左、右焦点为 ， ， 上一点 满足 ， 为线段 的中垂线与 的交点，若 的周长为 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 7.已知梯形 中， ， ， ， ， .如图，将 沿对角线 翻折至 ，使得 ，则异面直线 ， 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8.抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线 上的一点 （异于原点 ）作 的切线 ，过 作 的平行线交 （ 为 的焦点）于点 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知集合 ， .若 ，则实数 可以为（ ） A. 0 B. C.1 D.2 10.如图，在棱长为2的正方体 中，点 ， 分别是 和 的中点，则（ ） A. B. C. 点 到平面 的距离为 D.直线 与平面 所成角的正弦值为 11.已知曲线 ，其中 ，则（ ） A.存在 使得 为圆 B.存在 使得 为两条直线 C.若 为双曲线，则 越大， 的离心率越大 D.若 为椭圆，则 越大， 的离心率越大 12.若数列 满足 ，则（ ） A.数列 是等比数列 B.当 时， 的所有可能取值的和为6 C.当 时， 的取值有10种可能 D.当 时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知 ， ， 三点共线，则 ______. 14.已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点， 的面积为2，则 ______. 15.已知圆 和圆 ，过动点 分别作圆 ，圆 的切线 ， （ ， 为切点），且 ，则 的最大值为 ______. 16.已知直线 与直线 ，点 是 与 轴的交点.过 作 轴的垂线交 于点 ，过 作 轴的垂线交 于点 ，过 作 轴的垂线交 于点 ，过 作 轴的垂线交 于点 ，依此方法一直继续下去，可得到一系列点 ， ，则 ______ ；设 的坐标为 ，则数列 的前 项和为 ______. （本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ， . （1）求 ； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.（12分） 在平面直角坐标系 中，点 ， ，动点 满足 . （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 ， 两点， ，求 的方程. 19.（12分） 已知双曲线 的左顶点为 ， 为 上（异于 ）一点. （1）已知点 ，求当 取得最小值时直线 的方程； （2）若直线 与直线 交于点 ，证明： 为定值. 20.（12分） 某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 ，产品合格率比前一个月增加0.01. （1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； （2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量. 参考数据： ， . 21.（12分） 如图，在平行六面体 中， 平面 ， ， ， . （1）求证： ； （2）线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由. 22.（12分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 上不同两点 ， 满足 ，当 时， . （1）求 的方程； （2）设直线 ， 交于点 ，已知 的面积为1，求 与 的面积之和. 厦门市2023-2024学年度第一学期高二年级质量检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 ~ 4：CDAC 5~8：CBCB 8.提示：思路1：如图，由光学性质可知： 轴， ， 又 ，所以 ，因为 轴， ， 则有 ，所以 ，即 ， 由三角不等式可得 即 （点 的轨迹是一个圆除去 ， ） . 思路2：设 ， ，易求得 ， 所以 ， ，联立方程可求得 ， 所以 . 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.ABC 10.BC 11.ABC 12.BCD 12.提示：选项 A ：取 ，则 ，故选项 A 错误； 当 时