立体几何初步1（高考真题汇编） 2022--2023年2年全国高考数学试题（原卷全解析版）

立体几何初步1（高考真题汇编） 2022-2023 年 2 年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 10 小题） 1 ．（ 2022• 北京）已知正三棱锥 P ﹣ ABC 的六条棱长均为 6 ， S 是 △ ABC 及其内部的点构成的集合．设集合 T ＝ { Q ∈ S | PQ ≤5} ，则 T 表示的区域的面积为（　　） A ． B ． π C ． 2 π D ． 3 π 2 ．（ 2022• 新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 140.0 km 2 ；水位为海拔 157.5 m 时，相应水面的面积为 180.0 km 2 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5 m 上升到 157.5 m 时，增加的水量约为（ ≈2.65 ）（　　） A ． 1.0×10 9 m 3 B ． 1.2×10 9 m 3 C ． 1.4×10 9 m 3 D ． 1.6×10 9 m 3 3 ．（ 2023• 甲卷）在三棱锥 P ﹣ ABC 中， △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA ＝ PB ＝ 2 ， PC ＝ ，则该棱锥的体积为（　　） A ． 1 B ． C ． 2 D ． 3 4 ．（ 2022• 甲卷）在长方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知 B 1 D 与平面 ABCD 和平面 AA 1 B 1 B 所成的角均为 30° ，则（　　） A ． AB ＝ 2 AD B ． AB 与平面 AB 1 C 1 D 所成的角为 30° C ． AC ＝ CB 1 D ． B 1 D 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角为 45° 5 ．（ 2022• 乙卷）在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则（　　） A ．平面 B 1 EF ⊥ 平面 BDD 1 B ．平面 B 1 EF ⊥ 平面 A 1 BD C ．平面 B 1 EF ∥ 平面 A 1 AC D ．平面 B 1 EF ∥ 平面 A 1 C 1 D 6 ．（ 2023• 北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体 ABCDEF ，四边形 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形， △ ADE 和 △ BCF 是全等的等腰三角形．若 AB ＝ 25 m ， BC ＝ AD ＝ 10 m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（　　） A ． 102 m B ． 112 m C ． 117 m D ． 125 m 7 ．（ 2023• 乙卷）已知圆锥 PO 的底面半径为 ， O 为底面圆心， PA ， PB 为圆锥的母线， ∠ AOB ＝ 120° ，若 △ PAB 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（　　） A ． π B ． π C ． 3 π D ． 3 π 8 ．（ 2023• 乙卷）已知 △ ABC 为等腰直角三角形， AB 为斜边， △ ABD 为等边三角形，若二面角 C ﹣ AB ﹣ D 为 150° ，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（　　） A ． B ． C ． D ． 9 ．（ 2022• 甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 π ，侧面积分别为 S 甲 和 S 乙 ，体积分别为 V 甲 和 V 乙 ．若 ＝ 2 ，则 ＝（　　） A ． B ． 2 C ． D ． 10 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为 1 ，上、下底面边长分别为 3 和 4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A ． 100 π B ． 128 π C ． 144 π D ． 192 π 二．多选题（共 2 小题） （多选） 11 ．（ 2022• 新高考Ⅰ）已知正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 ，则（　　） A ．直线 BC 1 与 DA 1 所成的角为 90° B ．直线 BC 1 与 CA 1 所成的角为 90° C ．直线 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成的角为 45° D ．直线 BC 1 与平面 ABCD 所成的角为 45° （多选） 12 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ， AB 为底面直径， ∠ APB ＝ 120° ， PA ＝ 2 ，点 C 在底面圆周上，且二面角 P ﹣ AC ﹣ O 为 45° ，则（　　） A ．该圆锥的体积为 π B ．该圆锥的侧面积为 4 π C ． AC ＝ 2 D ． △ PAC 的面积为 三．填空题（共 4 小题） 13 ．（ 2022• 上海）已知圆柱的高为 4 ，底面积为 9 π ，则圆柱的侧面积为 　 　 ． 14 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 ，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 　 　 ． 15 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）在正四棱台 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 2 ， A 1 B 1 ＝ 1 ， AA 1 ＝ ，则该棱台的体积为 　 　 ． 16 ．（ 2023• 甲卷）在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 CD ， A 1 B 1 的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 　 　 ． 四．解答题（共 10 小题） 17 ．（ 2023• 北京）如图，四面体 P ﹣ ABC 中， PA ＝ AB ＝ BC ＝ 1 ， PC ＝ ， PA ⊥ 平面 ABC ． （Ⅰ）求证： BC ⊥ 平面 PAB ； （Ⅱ）求二面角 A ﹣ PC ﹣ B 的大小． 18 ．（ 2022• 浙江）如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形， AB ∥ DC ， DC ∥ E F ， AB ＝ 5 ， DC ＝ 3 ， EF ＝ 1 ， ∠ BAD ＝ ∠ CDE ＝ 60° ，二面角 F ﹣ DC ﹣ B 的平面角为 60° ．设 M ， N 分别为 AE ， BC 的中点． （Ⅰ）证明： FN ⊥ AD ； （Ⅱ）求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值． 19 ．（ 2022• 甲