2024届浙江省宁波市余姚中学高三上学期期末数学试题（全解析版）

2024 届浙江省宁波市 余姚 中学 第一学期期末考试 高三数学试题卷 说明：本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分 . 考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上 . 第 Ⅰ 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点 ， 在直线 ： 上运动，且 ，点 在圆 上，则 的面积的最大值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 1 5. 命题 “ ， ” 为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象 . 若 在 上恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C D. 7. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 . 认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据 . 早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯（ T.R.Malthus ， 1766—1834 ）就提出了人口增长模型 . 已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时这段时间的人口的年增长率为 0.3%. 根据模型预测 ________ 年世界人口是 1650 年的 2 倍 . （参考数据： ， ） A. 1878 B. 1881 C. 1891 D. 1993 8. 已知 为双曲线 ： 的一个焦点， C 上的 A ， B 两点关于原点对称，且 ， ，则 C 的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 下列结论正确的有（ ） A. 相关系数 越接近 1 ，变量 ， 相关性越强 B. 若随机变量 ， 满足 ，则 C. 相关指数 越小，残差平方和越大，即模型 拟合效果越差 D. 设随机变量 服从二项分布 ，则 10. 设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当 时， ，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的最小值是 D. 方程 在区间 内恰有 个实数解 11. 在棱长为 2 的正方体 中， Q 为线段 的中点， P 为线段 上的动点（含端点），则下列结论正确的有 A. P 为中点时， 的值最小 B. 不存在点 P ，使得平面 平面 C. P 与端点 C 重合时，三棱锥 的外接球半径为 D. P 为中点时，过 D ， P ， Q 三点的平面截正方体 所得的截面的周长为 12. 已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 ： 的焦点，过点 F 且倾斜角为 的直线 交 C 于 A 、 B 两点（其中点 A 在第一象限），过线段 的中点 P 作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点 N ，则下列说法正确的是（ ） A. C 的准线方程为 B. C. 三角形 的面积 D. 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中常数项为 __________ . 14. 已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，则 __________ . 15 已知 ，求 __________ . 16. 已知高为 2 圆锥内接于球 O ，球 O 的体积为 ，设圆锥顶点为 P ，平面 为经过圆锥顶点的平面，且与直线 所成角为 ，设平面 截球 O 和圆锥所得的截面面积分别为 ， ，则 __________ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在 中， ， . （ 1 ）求 A ； （ 2 ）已知 M 为直线 上一点， ， ，求 的面积 . 18. 已知数列 满足 ， ， ， （ 1 ）令 ，求证：数列 为等比数列； （ 2 ）若 ，求数列 的前 项和 . 19. 如图所示，在多面体 中，四边形 是边长为 的正方形，其对角线的交点为 ， 平面 ， ， ，点 P 是棱 上的任意一点 . （ 1 ）求证： ； （ 2 ）求直线 和平面 所成角的正弦值 . 20. 杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制 . 比赛之前，双方队长应抽签决定 A 、 B 、 C 和 X 、 Y 、 Z 的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单 . 现行的比赛顺序是第一场 A 对 X ；第二场 B 对 Y ；第三场 C 对 Z ；第四场 A 对 Y ；第五场 B 对 X . 每场比赛为三局两胜制 . 当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束 . 已知在某次团队赛中，甲队 A 、 B 、 C 三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立 场次 第一 场 第二 场 第三 场 第四 场 第五 场 获胜概率 （ 1 ）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； （ 2 ）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加 0.2 ；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少 0.2. 求已知 A 第一场获胜的条