浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（全解析版）

浙江省杭州市杭州第二中学 2023-2024 学年高二上学期期末考试 数学试题 本试卷分为第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第 Ⅰ 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线 的准线方程为 ( ) A. B. C. D. 2. 圆 上的点到直线 的距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 3. 设平面 内不共线的三点 A ， B ， C 以及平面外一点 P ，若平面 内存在一点 D 满足 ，则 x 的值为（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知 的三个顶点分别为 ， ， ，则 边上的中线长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 设 是公差为 d 的等差数列， 是其前 n 项和，且 ， ，则（ ） A B. C. D. 6. 用数学归纳法证明： （ ） 过程中，从 到 时， 比 共增加了（ ） A. 1 项 B. 项 C. 项 D. 项 7. 若数列 满足递推关系式 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线 的中心为 O ，右焦点为 F ，点 B 满足 ，若在双曲线 的右支上存在一点 A ，使得 ，且 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 已知 ， 在 R 上连续且可导，且 ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项积为 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 是等比数列 11. 已知 为抛物线 的顶点，直线 交抛物线于 两点，过点 分别向准线 作垂线，垂足分别为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若直线 过焦点 ，则以 为直径的圆与 轴相切 B. 若直线 过焦点 ，则 C. 若 两点的纵坐标之积为 ，则直线 过定点 D. 若 ，则直线 恒过点 12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达 · 芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图 1 ），把三片这样的达 · 芬奇方砖拼成图 2 的组合，这个组合再转化成图 3 所示的几何体，若图 3 中每个正方体的棱长为 1 ，则（ ） A. B. 若 M 为线段 CQ 上的一个动点，则 的最小值为 1 C. 点 F 到直线 CQ 的距离是 D. 异面直线 CQ 与 所成角的正切值为 第 Ⅱ 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知 ，则 _____________ ． 14. 若平面内两定点 A ， B 间 距离为 3 ，动点 P 满足 ，则 △ PAB 面积的最大值为 _____________ ． 15. 已知点 是抛物线 上动点， 是抛物线的焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值为 ________. 16. 意大利著名数学家莱昂纳多 · 斐波那契（ Leonardo·Fibonacci ）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， …… ，该数列的特点是：前两个数都是 1 ，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为 “ 斐波那契数列 ” ．同时，随着 n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 ，因此又称 “ 黄金分割数 列 ” ，记斐波那契数列为 ．记一个新的数列 ，其中 的值为 除以 4 得到的余数，则 _____________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数 ，直线 l ： 与 x 轴交于点 A ． （ 1 ）求过点 A 的 的切线方程； （ 2 ）若点 B 在函数 图象上，且 在点 B 处的切线与直线 l 平行，求 B 点坐标． 18. 已知圆 O ： （ ）与圆 C ： 有两个不同的交点 D ， E ． （ 1 ）求 r 的取值范围； （ 2 ）若 ，求线段 DE 的长． 19. 已知数列 是首项为正数的等差数列， ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）设 ，求数列 的前 n 项和 ． 20. 如图，在四棱锥 中，底面四边形 正方形，且 ， ， （ 1 ）若 与 交于点 ，证明： 平面 ； （ 2 ）棱 上的点 满足 ，若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 21. 已知数列 满足 ，且对任意正整数 n 都有 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）设数列 的前 n 项和为 ， ，（ ），若 且 ，求集合 A 中所有元素的和． 22. 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C ： ，长轴长为 4 ，离心率为 ，左焦点为 F ．点 M 在椭圆内，且 MF ⊥ x 轴，过点 M 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点（点 B 在点 A 右侧），直线 AN 、 BN 分别与椭圆相切且交于点 N ． （ 1 ）求椭圆的方程； （ 2 ）若直线 AF 与直线 BF 倾斜角互补，则 M 点与 N 点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 杭州二中 2023 学年第一学期高二年级期末数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线 的