2023-2024学年浙江省杭州高级中学A9协作体高二上学期暑假返校联考数学试题答案(原卷解析版）

绝密 ★ 考试结束前 浙江省 A9 协作体暑假返校联考 高二 数学试题卷 考生须知： 1 ．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2 ．答题前务必将自己的姓名 ， 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。 3 ．答题时，请按照答题纸上 “ 注意事项 ” 的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。 4 ．考试结束后，只需上交答题卷。 第 Ⅰ 卷 一、单选题 1 ．若 ，则复数 的虚部 为 A ． i B ． 1 C ． -1 D ． - i 2 ．如图所示，等腰梯形 是平面图形 ABCD 用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形 ABCD 的面积为 A ． B ． 12 C ． D ． 6 3 ． 抛掷两枚质地均匀的骰子， 记 事件 A =“ 第一枚骰子奇数面朝上 ” ， 事件 B =“ 第二枚骰子偶数面朝上 ” ， 事件 C =“ 两枚骰子向上点数之和为 7”. 则 下列结论正确的是 A ． A 与 B 对立 B ． A 与 C 互斥 C ． D ． B 与 C 独立 4 ．已知向量 ， ， 若 是 在 上的投影向量，则 A ． B ． C ． D ． 5 ． 在 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 ， ， ， 将该三角形绕 AC 边旋转 360 ° 得一个旋转体，则该旋转体体积为 A ． B ． C ． D ． 6 ． 一组数据由 6 个数组成，将其中一个数由 4 改为 6 ，另一个数由 12 改为 10 ，其余数不变，得到 新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为 A ． 4 B ． 3 C ． - 4 D ． - 3 7 ． 如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中， 不满足 直线 平面 的是 A ． B ． C ． D ． 8 ． 五面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为矩形， AB =3 ， ， △ ADE 与 都是边长为 2 的等边三角形，若点 A ， B ， C ， D ， E ， F 都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 A ． B ． C ． D ． 二、多选题 9 ．有一组样本数据 ，另一组样本数据 ，其中 ， c 为非零常数，则 A ．两组样本数据平均数相同 B ．两组样本数据方差相同 C ．两组样本数据中位数相等 D ．两组样本数据极差相同 10 ．在复平面内，复数 ，则 A ． 的模长为 1 B ． 在复平面内对应的点在第二象限 C ． D ．复数 满足 ，则 11 ．已知 l ， m ， n 是三条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，则 A ．已知 ， ， ， 若 ， 则 B ．若 ， 则 C ．若 ， 则 D ．若 ， 则 12 ．在 中，内角 所对的边分别为 ，则 A ．若 A>B ，则 B ．若 ， a =1 ，则 最大值为 C ．若 ， ， ，则满足条件的三角形有两个 D ．若 ，且 ，则 为等边三角形 第Ⅱ卷 三、填空题 13 ．复数 是关于 的方程 的一个根，则 ▲ ． 14 ． 某人在湖面之上 2 米处测得空中一气球的仰角为 30° ，且测得湖中气球倒影的俯角为 60° ，若不考虑水的折射 和球的体积 ，则气球离水面的高度为 ▲ 米． 15 ． 在 中， ， ， ， 则 的长为 ▲ ． 16 ． 已知三棱锥 ABCD 中， AB ⊥ CD ，且 CD 与平面 ABD 所成角余弦值为 ，当 取得最大值时，二面角 C-AB-D 的正弦值为 ▲ ． 四、解答题 17 ． 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， 是单位向量． （ 1 ）分别求 和 的值； （ 2 ）若 与 共线，求 ． 18 ． 杭州 2022 年第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会 运动项目和亚运精神，某中学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了 100 名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （ 1 ）试根据频率分布直方图求出这 100 名学生中成绩低于 60 分的人数； （ 2 ）试估计这 100 名学生成绩的第 75 百分位数； （ 3 ）若采用分层抽样的方法从成绩在 ， ， 的学生中共抽取 6 人参加志愿者活动．现从这 6 人中随机抽取 2 人分享活动经验，求抽取的 2 人成绩都在 的概率． 19 ． 在 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 ． （ 1 ） 求角 A ； （ 2 ）若 ， ， 的角平分线交 BC 于 D ， 求 AD 的长 ． 20 ． 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 为等腰直角三角形，且 ，点 为棱 上的点，平面 与棱 交于点 ． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若 ， ，求证平面 平面 ． 21 ． 如图，在 中， ， ， ，点 D ， E 分别在 ， 上且满足 ， ，点 在线段 上 ． （ 1 ） 若 ，求 ； （ 2 ） 若 ，且 求 ； （ 3 ） 求 的最小值 ． 22 ． 如图 1 ，在矩形 中，已知 ， E 为 的中点 . 将 沿 向上翻折，进而得到多面体 （如图 2 ） . （ 1 ）当平面 ⊥ 平面 ，求直线 与平面 所成角的正切值； （ 2 ）在翻折过程中，求二面角 的最大值 . 浙江省A9协作体暑假返校联考 高二 数学 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D C B C D A 9 10 11 12 BD ACD AC BCD 13 ． 3 14 ． 4 15 ． 16 ． 17 ．（ 1 ） ， ； （ 2 ） （ 1 ） ， . （ 2 ）若 与 共线，则存在 ，使得 ， 即 ，又因为向量 与 不共线， 所以 ，解得 ，所以 . 18 ．（ 1 ） 18 人；（ 2 ）