内蒙古自治区赤峰市第二实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（全解析版）

内蒙古 赤峰市 赤峰 第二实验中学 2023—2024 学年度 高二 上学期期中考试 数学试卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 过点 且倾斜角为 150° 的直线 l 的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线 l 1 ：（ a ﹣ 1 ） x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ﹣ ay ＋ 1 ＝ 0 ， a ∈ R ，若 l 1 ⊥ l 2 ，则 a 的值为（ ） A. 0 B. ﹣ 1 C. 1 D. 0 或﹣ 1 3. 在长方体 中， 为 与 交点 . 若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条异面直线的方向向量分别是 ， 1 ， ， ， 2 ， ，则这两条异面直线所成的角 满足（ ） A. B. C. D. 5. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用 “ 逼近法 ” 得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 C 的焦点在 轴上，且椭圆 C 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 C 的标准方程为（ ） A B. C. D. 6. 直三棱柱 中， ， ，则直线 与平面 所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点 ， 以及圆 C ： （ ），若圆 C 上存在点 P ，满足 ，则 r 的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本大题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的 . 9. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则（ ） A. B. C. 与 为相交直线或异面直线 D. 在 向量上的投影向量为 10. 已知圆 ，则下列说法正确 是（　　） A. 点（ 2 ， 0 ）在圆 M 内 B. 圆 M 关于 对称 C. 半径为 D. 直线 与圆 M 的相交所得弦长为 11. 正方体 的棱长为 2 ， E ， F ， G 分别为 的中点，则（ ） A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与直线 异面 C. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 C 到平面 的距离为 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，且 的最大值为 3 ，最小值为 1 ，则（ ） A. 椭圆 的离心率为 B. 的周长为 4 C. 若 ，则 面积为 3 D. 若 ，则 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡中的横线上 . 13. 设 ，若 ，则点 的轨迹方程为 ______ . 14. 已知直线 经过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，则直线 的方程为 ________ . 15. 已知实数 x ， y 满足方程 ，则 的取值范围 _____________ . 16. 已知直线 ： ，圆 ： ，则下列命题： ① 圆 截直线 的最短弦长为 4 ； ② 圆 上一定存在 4 个点到直线 的距离为 ； ③ 直线 与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为 4 ； ④ 直线 与线段 相交，其中 ， ，则 的取值范围是 . 其中正确的是 ______ . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知圆 C 过原点 O 和点 ，圆心在直线 上． （ 1 ）求圆 C 的方程； （ 2 ）直线 l 经过点 O ，且 l 被圆 C 截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程． 18. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ∠ ABC =60 ° ， 底面 ， ， M 为 的中点， N 为 BC 的中点 . （ 1 ）证明：直线 平面 ； （ 2 ）求点 B 到平面 OCD 的距离． 19 已知动圆 与圆 ： 外切，与圆 ： 内切 . （ 1 ）求动圆圆心 的轨迹方程； （ 2 ）若点 为动圆圆心 的轨迹上任意一点，过点 做 轴垂线 ，垂足为 ，求 中点 的轨迹方程 . 20. 已知点 ， ，点 A 关于直线 的对称点为 B . （ 1 ）求 的外接圆的方程； （ 2 ）过点 作 的外接圆的切线，求切线方程 . 21. 已知 是椭圆 的两个焦点， ， 为 上一点 . （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）若 为 上一点，且 ，求 的面积 . 22. 如图，在四棱柱 中， ， ，平面 平面 ， . （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）若 为线段 的中点，直线 与平面 所成角为 45° ，求平面 与平面 的夹角的余弦值 . 赤峰市第二实验中学 2023—2024 学年度上学期 期中考试数学试卷 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 过点 且倾斜角为 150° 的直线 l 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解 . 【详解】依题意，直线 l 的斜率 ， 故直线 l 的方程为 ， 即 ， 故选： B. 2. 已知直线 l 1 ：（ a ﹣ 1 ） x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ﹣ ay ＋ 1 ＝ 0 ， a ∈ R ，若 l 1 ⊥ l 2 ，则 a 的值为（ ） A. 0 B. ﹣ 1 C. 1 D. 0 或﹣ 1 【答案】 B 【解析】 【分析】根据两直线垂直求解 . 【详解】