山东省济南市山东省实验中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题(原卷全解析版）

山东省实验中学 2023 ～ 2024 学年暑假学情调研测试 高二数学试题 2023 ． 08 说明：本试卷满分 120 分 . 试题答案请用 2B 铅笔和 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效 . 考试时间 90 分钟 . 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若 （ 是虚数单位），则复数 的模为 A. B. C. D. 2. 如图所示， △ 表示水平放置的 △ 的直观图， 在 轴上， 和 轴垂直，且 ，则 △ 的边 上的高为 （ ） A. B. C. D. 3. 设 ， ， ，若 ，则 与 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将 地区 200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平均数为 ，中 位数为 ，则 （ ） A. 50 B. 75 C. 90 D. 100 5. 数学必修二 101 页介绍了海伦 - 秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是： “ 以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上 . 以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实 . 一为从隔，开平方得积 .” 若把以上这段文字写成公式，即 ，其中 、 、 分别为 内角 、 、 的对边 . 若 ， ，则 面积 的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 在下列条件中，使 与 ， ， 一定共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线 : ，直线 : ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 若过直线 上一点 M 向圆 Γ ： 作一条切线于切点 T ，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 已知三条不同 直线 和两个不同的平面 ，下列四个命题中不正确的为（ ） A 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 10. 如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为 、 的中点， 在线段 上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积与 点位置无关 B. 若 为 中点，三棱锥 的体积为 C. 若 为 中点，则过点 、 、 作正方体的截面，所得截面的面积是 D. 若 与 重合，则过点 、 、 作正方体的截面，截面为三角形 11. 在锐角 中 , 若 , 且 , 则 不能取到的值有（ ） A. B. C D. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 已知空间向量 ，且 ，则实数 B. 过点 ，斜率是 的直线方程是 C. 已知直线 与直线 平行，则实数 为 2 D. 圆心为 且和 轴相切 圆的方程是 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中横线上） 13. 某单位有职工 人，其中业务人员 人，管理人员 人，后勤服务人员 人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为 的样本，如果采取 比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为 ________ 14. 已知正四棱锥的底面边长为 4 ，侧棱长为 ，则该正四棱锥外接球的表面积为 ________ 15. 已知 是边长为 的正三角形，点 为平面内一点，且 ，则 的取值范围是 ________ ． 16. 与圆 相交所得的弦长为 2 ，且在 轴上截距为 的直线方程是 __________ 四、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分．解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤） 17. 如图， ，原点 是 中点，点 的坐标为 ， ， ，点 在平面 上，且 ， ． （ 1 ）求向量 的坐标． （ 2 ）求 与 的夹角的余弦值． 18. 某校后勤服务中心为了解学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查 50 名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从 0 到 100 分选取一个分数打分，根据这 50 名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图．下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为 [40 ， 50 ）， [50 ， 60 ）， …… ， [90 ， 100] ． （ 1 ） 学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于 75 分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿； （ 2 ） 学校 每周都会随机抽取 3 名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这 3 名学生了解食堂服务质量 . 校长的做法是让学生在 “ 差评、中评、好评 ” 中选择一个作答，如果出现 “ 差评 ” 或者 “ 没有出现好评 ” ，会立即让后勤分管处亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的 50 名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中，评分在 之间的会给 “ 差评