2024届云南省昆明市一中高三上学期1月“三诊一模”摸底诊断测试（期末）数学试题(原卷全解析版）

昆明市 2024 届高三 “ 三诊一模 ” 摸底诊断测试 数 学 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡交回 . 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A B. C. D. 2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 是抛物线 的焦点，点 在 上，且 的纵坐标为 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 在 中，点 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 某学校运动会男子 100m 决赛中，八名选手的成绩（单位： ）分别为： ， ， ， ， ， ， ，则下列说法错误的是（ ） A. 若该八名选手成绩的第 百分位数为 ，则 B. 若该八名选手成绩的众数仅为 ，则 C. 若该八名选手成绩 极差为 ，则 D. 若该八名选手成绩的平均数为 ，则 6. 已知函数 ，若存在 ，使得方程 有三个不等的实根 ， ， 且 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 若将函数 的图象平移后能与函数 的图象重合，则称函数 和 互为 “ 平行函数 ” . 已知 ， 互为 “ 平行函数 ” ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 第七届国际数学大会（ ICNE7 ）的会徽图案是由若干三角形组成的 . 如图所示，作 ， ， ，再依次作相似三角形 ， ， ， …… ，直至最后一个三角形的斜边 与 第一次重叠为止 . 则所作的所有三角形的面积和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 在正四棱柱 中，已知 与平面 所成的角为 ，底面 是正方形，则（ ） A. B. 与平面 所成的角为 C. D. 平面 10. 已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，当 最大时，则（ ） A. 直线 的斜率为 1 B. 四边形 的面积为 C. D. 11. 古希腊数学家托勒密（ Ptolemy 85-165 ）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表 . 托勒密用圆 的半径的 作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 （ ）所对的弦长记为 . 例如 圆心角所对弦长等于 60 个度量单位，即 . 则（ ） A. B. 若 ，则 C D. （ ） 12. 已知函数 ， ，则（ ） A 当 时， 有 2 个零点 B. 当 时， 有 2 个零点 C. 存在 ，使得 有 3 个零点 D. 存在 ，使得 有 5 个零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知角 的顶点为坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，点 （ ）在角 终边上，且 ，则 的值可以是 ______ . （写一个即可） 14. 春节前夕，某社区安排小王、小李等 5 名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排 1 人，至多安排 2 人 . 若小王、小李安排在同一个敬老院，且这 5 名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为 ______ . （用数字作答） 15. 已知双曲线 的左、右焦点 分别为 ， ，以 为圆心作与 的渐近线相切的圆，该圆与 的一个交点为 ，若 为等腰三角形，则 的离心率为 ______ . 16. 已知球 的表面积为 ，正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，则该正四棱锥 体积的最大值为 ______ . 四、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 中， ， ， . （ 1 ） 求 的面积； （ 2 ） 如图， ， ，求 . 18. 记 为数列 的前 项和， . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 . 19. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是线段 的中点， 是线段 上一点， ， . （ 1 ） 证明：平面 平面 ； （ 2 ） 是否存在点 ，使平面 与平面 的夹角为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由 . 20. 聊天机器人（ chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序 . 当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据 库中检索最贴切的结果进行应答 . 在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为 80% ，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为 30%. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 10%. （ 1 ） 求一个问题的应答被采纳的概率； （ 2 ） 在某次测试中，输入了 8 个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 ，事件 （ ）的概率为 ，求当 最大时 的值 . 21. 已知 是椭圆 的右焦点，点 在不过原点 的直