“皖豫名校联盟体”2022届高中毕业班第三次考试理科数学试卷（全解析版）

“皖豫名校联盟体” 2022 届高中毕业班第三次考试理科数学试卷 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ 一、单选题 1 ．已知集合 ， ，则 （         ） A ． B ． C ． D ． 2 ．已知 ，则复数 （         ） A ． B ． C ． D ． 3 ．已知 ， ， ，则（         ） A ． B ． C ． D ． 4 ．对某位同学 5 次体育测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下表格： 第 x 次 1 2 3 4 5 测试成绩 y 39 40 48 48 50 根据上表，可得 y 关于 x 的线性回归方程为 ，下列结论不正确的是（         ） A ． B ．这 5 次测试成绩的方差为 20.8 C ． y 与 x 的线性相关系数 D ．预测第 6 次体育测试的成绩约为 54 5 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（         ） A ． B ． C ． D ． 6 ．已知等差数列 的各项均为正数，其前 n 项和为 ，且满足 ， ，则 （         ） A ． 28 B ． 30 C ． 32 D ． 35 7 ．某高山地区的大气压强 p （ Pa ）与海拔高度 h （ m ）近似满足函数关系 ，其中 ， 是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为 ， ，且 ，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（         ） （参考数据： ） A ． 4900m B ． 5500m C ． 6200m D ． 7400m 8 ．已知抛物线 C ： 的焦点为 F ，直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 ，则点 F 到直线 l 的距离为（         ） A ． B ． C ． D ． 9 ．已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得函数 的图象，则 图象的一个对称中心为（         ） A ． B ． C ． D ． 10 ．已知平面向量 ， ， 均为单位向量，且 ， 的取值范围是（         ） A ． B ． C ． D ． 11 ．已知双曲线 C ： 的左、右焦点为 ， ，渐近线上一点 P 满足 （ O 坐标原点）， ，则双曲线 C 的离心率为（         ） A ． B ． C ． D ． 12 ．在三棱锥 中， △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， ， ，以 AB 为直径的球的表面被 △ PAC 截得的曲线长度为（         ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 13 ．若实数 x ， y 满足约束条件 ，则 的最大值为 _____ ． 14 ．已知 的展开式中各项系数和为 ，则该展开式中 的系数是 __________ ． 15 ．已知 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 ， ， △ ABC 的面积为 ，则 ________ ． 16 ．已知 是定义在 R 上的奇函数，且 是偶函数，当 时， ．设 ，若关于 x 的方程 有 5 个不同的实根，则实数 m 的取值范围是 __________ ． 三、解答题 17 ．设数列 的前 n 项和为 ，已知 ． (1) 求数列 的通项公式； (2) 设数列 的前 n 项和为 ，证明： ． 18 ．如图所示，在四棱柱 中，四边形 ABCD 为矩形， ，四边形 为菱形， ，平面 平面 ABCD ，点 E 为线段 AB 的中点， M 为线段 AE 的中点． (1) 证明： ； (2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 19 ． 2022 年 2 月 4 日至 20 日，第 24 届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办，某学校随机调查了部分学生，统计他们观看开幕式的时长（单位： min ）情况，样本数据按照 ， ， … ， 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图 (1) 估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）； (2) 由频率分布直方图可知该校学生观看开幕式的时长 X 近似服从正态分布 （其中 近似为样本平均数， 取 10.8 ），求该校学生观看开幕式的时长位于区间 内的概率； (3) 从该校所有学生中随机选取 3 人，记观看开幕式不少于 80min 的人数为 Y ，用样本中各区间的频率代替每名学生观看时长位于相应区间的概率，求 Y 的分布列和期望． 附：若 ， ， ． 20 ．已知椭圆 C ： 的离心率为 ，其右焦点为 F ，左顶点为 A ，点 P 是椭圆 C 上异于点 A 的一个动点，且当 轴时， △ APF 的面积为 ． (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 若直线 AP 交直线 l ： 于点 Q ，直线 l 与 x 轴交于点 T ，证明： ． 21 ．已知函数 ． (1) 求 的极值； (2) 若不等式 恒成立，求实数 m 的最小值． 22 ．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ． (1) 求 的普通方程和 的直角坐标方程； (2) 过 上一点 P 作 的一条切线 l ，切点为 Q ，当 最小时，求 △ 外接圆的参数方程． 23 ．已知函数 ． (1) 求不等式 的解集； (2) 设 的最小 为 m ，若正实数 a ， b ， c 满足 ，求 的最小值． 参考答案： 1 ． D 【解析】 【分析】 根据交集的定义计算即可 . 【详解】 因为集合 ， ， 所以 ， 故选： D. 2 ． B 【解析】 【分析】 直接根据复数的除法运算即可得结果 . 【详解】 因为 ， 所以 ， 故选： B. 3 ． D 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系 . 【详解】 因为 ， ， ，故 . 故选： D. 4 ． C 【解析】 【分析】 由已知数据求平均数和方差，再由回归方程的性质