湖北省孝感市重点高中2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试卷(原卷全解析版）

2022—2023 学年度下学期 期中考试数学 试卷 一、单选题 （每题 5 分，共 40 分） 1. 复数 （ 为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 在 △ 中， “ ” 是 “△ 为钝角三角形 ” 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图， O 是 的重心， = ， = ， D 是边 BC 上一点，且 =3 ，则（　　） A. B. C. D. 6. 某种药物作用在农作物上的分解率为 ，与时间 （小时）满足函数关系式 （其中 ， 为非零常数），若经过 12 小时该药物的分解率为 10% ，经过 24 小时该药物的分解率为 20% ，那么这种药物完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据： ） A. 48 小时 B. 52 小时 C. 64 小时 D. 120 小时 7. 若 ， ，且 ， ，则 的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在平面四边形 中， ， ， ， ， ，若点 F 为边 上的动点，则 的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二 、 多选题 （每题 5 分，共 20 分） 9 ．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若 ，则 的实部为 B ．若复数 z 满足 ，则 C ．对任意复数 z 恒有 成立 D ．若复数 满足 ，则 10. 已知 函数 ，则下列 选项中正确的是 (      ) A. 的最小值为 B. 在 上单调递增 C. 的图象关于点 中心对称 D. 在 上值域为 11. 在 中 ，角 的平分线 交 于 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若 ，则 的外接圆半径是 C. 若 ，则 的面积是 D. 若 ，则 12 ．在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， C 为钝角，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 三、 填空题 （每题 5 分，共 20 分） 13. 平面上三个力 作用于同一点，且处于平衡状态，已知 | | ＝ 1 N ， | | ＝ N ， 与 的夹角为 45° ，则 的大小为 _____N ． 14. 已知 则 ＝ ________. 15. 已知边长为 1 的菱形 ABCD 中，角 ，则 . 16. 已知正 的边长为 1 ，中心为 ，过 的动直线 与边 ， 分别相交于点 M 、 N ， ， ， ． （ 1 ）若 ，则 . （ 2 ） 与 的面积之比的最小值为 . 四．解答题 （共 70 分） 17. （ 10 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 . （ 1 ）求 A ； （ 2 ）已知 ，若 ，且 ，求 的面积 . 18. （ 12 分）已知 中， ， 是线段 上一点，且 ， 是线段 上的一个动点。 （ 1 ）若 ，求 （用 的式子表示）； （ 2 ）求 的取值范围 . 19 ．如 图，点 分别是圆心在原点，半径为 和 的圆上的动点．动点 从初始位置 开始，按逆时针方向以角速度 作圆周运动，同时点 从初始位置 开始，按顺时针方向以角速度 作圆周运动．记 时刻，点 的纵坐标分别为 ． （ 1 ）求 时刻， 两点间的距离； （ 2 ）求 关于时间 的函数关系式，并求当 时，这个函数的值域． 20. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . （1） 求角 的值； （2） 若 ，求 周长的取值范围 . 21. 已知向量 ， ，函数 （ 1 ）求函数 解析式和对称轴方程； （ 2 ）若 a ， b ， c 分别为 三个内角 A ， B ， C 的对边， ， ， ， 试判断这个三角形解的个数，并说明理由； （ 3 ）若 时，关于 x 的方程 恰有三个不同的实根 ，求实数 的取值范围及 的值 . 22. 定义非零向量 的 “ 相伴函数 ” 为 ，向量 称 为函数 的 “ 相伴向量 ” （其中 为坐标原点）．记平面内所有向量的 “ 相伴函数 ” 构成的集合为 ． （ 1 ）设 ，请问函数 是否存在相伴向量 ，若存在，求出与 共线的单位向量；若不存在，请说明理由． （ 2 ）已知点 满足 ，向量 的 “ 相伴函数 ” 在 处取得最大值，求 的取值范围． 高一下学期期中考试（数学）参考答案 1-8: BC CCABBB 9． AB C 10.BD11.ACD11.ACD 12.ABC 充分性：由 ，代入 已知式整理得 ，即 ，显然 必为钝角； 必要性：取 ，显然 不成立．综上选 C ． 6. 【解】 由题意可得 ，解得 ，所以 ，这种 药物 完全分解，即当 时，有 ，即 ，解得 . 故选： B 7. 【详解】 ，又∵ ，∴ . 又∵ ∴ ，于 ，易得 ，则 . 8. 【详解】以 为原点建 系 . 依题意 ， ， ， 在三角形 中， . 所以 ，所以 . 而 ，所以 . 在三角形 中， . 所以 ，所以 在三角形 中， ，所以 是等边三角形，所以 . 所以 ，设 依题意令 ，即 ， 所以 ，所以 ， 所以 . 二次函数 对称轴为 ，开口向上，所以当 时， 有最小值，也即 有最小值为 . 故选 B 12. 【解析】由 ，得 ，故 A 正确； 对选项 B ：由正弦定理得 ，又 ， ∴ ， 化简得 ∵ ∴ ∴ 故 ， B 正确；