北京市
朝阳
区
2021-2022
学年
高三（上）期末
数
学
一、选择题：本大题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1
．（
4
分）
A
．
B
．
2
C
．
D
．
2
．（
4
分）双曲线
的渐近线方程为
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．（
4
分）在
5
道试题中有
2
道代数题和
3
道几何题，每次从中抽出
1
道题，抽出的题不再放回，则在第
1
次抽到代数题的条件下，第
2
次抽到几何题的概率为
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．（
4
分）已知抛物线
上一点
与焦点
的距离为
4
，则点
到
轴的距离是
A
．
B
．
C
．
4
D
．
12
5
．（
4
分）设函数
，若
，则实数
的取值范围是
A
．
，
B
．
，
C
．
，
D
．
，
6
．（
4
分）在直角坐标平面
内，
为坐标原点，已知点
，将向量
绕原点按逆时针方向旋转
得到
，则
的坐标为
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．（
4
分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少
，若要使水中杂质减少到原来的
以下，则至少需要过滤
（参考数据：
A
．
2
次
B
．
3
次
C
．
4
次
D
．
5
次
8
．（
4
分）若函数
的最大值为
2
，则下列结论不一定成立的是
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．（
4
分）已知平面向量
，
满足
，
与
的夹角为
，记
，则
的取值范围为
A
．
，
B
．
，
C
．
，
D
．
，
10
．（
4
分）如图，将半径为
1
的球与棱长为
1
的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题：本大题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分．把答案填在答题卡上．
11
．（
5
分）在
的展开式中，
的系数为
．
12
．（
5
分）已知圆
，直线
，则使
“
圆
上至少有
3
个点到直线
距离都是
1”
成立的一个充分条件是
“
”
．
13
．（
5
分）如图，正方形
的边长为
2
，取正方形
各边的中点
，
，
，
，作第
2
个正方形
，然后再取正方形
各边的中点
，
，
，
，作第
3
个正方形
，依此方法一直继续下去．则第
4
个正方形的面积是
；从正方形
开始，连续
8
个正方形面积之和是
．
14
．（
5
分）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
底面
，
，
为线段
的中点，
为线段
上的动点，平面
与平面
（填
“
垂直
”
或
“
不垂直
”
；
的面积的最大值为
．
15
．（
5
分）已知函数
的部分图象如图所示，设
，给出
以下四个结论：
①
函数
的最小正周期是
；
②
函数
在区间
上单调递增；
③
函数
的图象过点
；
④
直线
为函数
的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题：本大题共
6
小题，共
85
分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16
．（
13
分）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
，
．
（
Ⅰ
）当
时，求
；
（
Ⅱ
）是否存在正整数
，使得角
为钝角？如果存在，求出
的值，并求此时
的面积；如果不存在，说明理由．
17
．（
13
分）
“
双减
”
政策实施以来，各地纷纷推行课后服务
“
”
模式，即学校每周周一至周五
5
天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少
2
小时．某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了
100
人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有
14
人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数
课后服务活动
1
天
天
5
天
仅参加学业辅导
10
人
11
人
4
人
仅参加体育锻炼
5
人
12
人
1
人
仅参加实践能力创新培养
3
人
12
人
1
人
（
Ⅰ
）从全校学生中随机抽取
1
人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
（
Ⅱ
）从全校学生中随机抽取
3
人，以频率估计概率，以
表示这
3
人中上个月仅参加学业辅导的人数，求
的分布列和数学期望；
（
Ⅲ
）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有
人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取
3
人，以频率估计概率，以
表示这
3
人中上个月仅参加学业辅导的人数，以
表示这
3
人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差
，
的大小关系（结论不要求证明）．
18
．（
14
分）刍甍
chú méng
是中国古代数学书中提到的一种几何体．《九章算术》中有记载
“
下有袤有广，而上有袤无广
”
，可翻译为：
“
底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．
”
如图，在刍甍
中，四边形
是正方形，平面
和平面
交于
．
（
Ⅰ
）求证：
平面
；
（
Ⅱ
）若
，
，
，
，再从条件
①
，条件
②
，条件
③
中选择一个作为已知，使得刍甍
存在，并求平面
和平面
夹角的余弦值．
条件
①
：
，
；
条件
②
：平面
平面
，
，；
条件
③
：平面
平面
，
．
19
．（
15
分）已知曲线
，
，且
．
（
Ⅰ
）若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，求
的取值范围；
（
Ⅱ
）当
时，过点
作斜率为
的直线
交曲线
于点
，
，
异
北京市朝阳区2021-2022学年高三（上）期末数学试题（原卷全解析版）
