2023-2024学年四川省成都市七中蓉城名校联盟高二上学期入学联考数学试题（解析版）

四川省 成都市 七中 蓉城名校联盟 2023 ~ 2024 学年高二 上学 入学联考 数学 考试时间 120 分钟，满分 150 分 注意事项： 1 ．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2 ．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3 ．考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ． 复数 ，则 的虚部为 （ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 ． 已知 是非零向量，则 是 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ． 已知偶函数 在 上单调递减，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 4 ． 设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ） A ． B ． C ． 或 D ． 或 5 ． 已知 是空间中两个不同的平面， 是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是 （ ） A ．若 ，则 B ．若 ，则 C ．若 ，则 D ．若 ，则 6 ．某中学校园内有一水塔，小 明同学 为了测量水塔的高度，在水塔底的正东方向的 处测得塔顶的仰角为 ，在水塔底的南偏西 方向的 处测得塔顶的仰角为 ，已知 ，则水塔的高度为 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ． 在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， ，点 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 的值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ．若集合 ，且 ，则实数 的取值为 （ ） A ． 0 B ． 1 C ． 3 D ． 10 ．已知 ，函数 ，则下列结论正确的是 （ ） A ．函数 的初相是 B ． 是函数 图象 的一条对称轴 C ． 是函数 图象 的对称中心 D ．函数 的 图象 向左平移 个 单位 后关于 轴对称 11 ．如图，在四面体 中， 平面 平面 ， ，则下列结论正确的是 （ ） A ．四面体 的体积为 B ． C ．二面角 的余弦值为 D ．四面体 外接球的体积为 12 ．设 的内角 的对边分别为 ，则下列结论正确的是 （ ） A ．若 ，则 B ．若 ，则 外接圆的半径为 C ．若 ，则 D ．若 ，则 为锐角三角形 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ．已知函数 ，若 ，则 ______ ． 14 ．已知 ，则 ______ ． 15 ．已知等腰直角三角形的斜边长为 ，以该三角形的 一 直角边所在的直线为旋转轴将该三角形旋转一周，所得的旋转体的侧面积为 ______ ． 16 ．在 中，已知 ，则 的最大值为 ______ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ．（ 10 分）已知 ． （ 1 ） 与 的夹角为 ，求 ； （ 2 ）若 与 垂直，求 ． 18 ．（ 12 分）如图， 在斜三棱柱 中， ， 为 的中点． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）证明： 平面 平面 ． 19 ．（ 12 分）如图，在四边形 中， 与 互补， ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求四边形 的面积． 20 ． （ 12 分） 已知函数 ． （ 1 ）求函数 的 最小正 周期和 图象 的对称轴方程； （ 2 ）若存在 ，使得不等式 成立，求 ． 21 ．（ 12 分）已知 的内角 的对边分别为 ． （ 1 ）若 ， 求角 ； （ 2 ）求 的取值范围． 22 ．（ 12 分）图 ① 是由矩形 和梯形 组成的一个平面图形，其中 ， ，点 为 边上一点，且满足 ，现将其沿着 折起使得 平面 平面 ，如图 ② ． （ 1 ）在图 ② 中，当 时， （ ⅰ ）证明： 平面 ； （ ⅱ ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （ 2 ）在图 ② 中，记直线 与平面 所成角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，是否存在 使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 2023~2024 学年度上期高中 2022 级入学联考 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D A C A B C 1 ． 解：由题意得： ，则 ，故选 A ． 2 ． 解：当 是非零向量时， ，故选 C ． 3 ． 解：由于函数 为偶函数，故 ，且 在 上单调递减，所以 ，即 ，故选 D ． 4 ．解：由正弦定理得： ，即 ，则 ．又 ，则 ，故选 A ． 6 ．解：如图：设水塔高为 ，则 ，则在 中， ，化简得： ，即 ，故选 A ． 7 ．解：如图，连接 交于点 ，连接 ，则 （补角）是异面直线 与 所成角．设 ，在 中， ， 为直角三角形，则 ，故选 B ． 8 ．解：由题意得： ，故选 C ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符