湖北省鄂西南三校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（原卷全解析版）

鄂西南三校高一年级 12 月联考 数学试卷 注意事项： 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试题卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3 ．非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效． 4 ．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则函数 的解析式为（ ） A. B. （ ） C. （ ） D. （ ） 4. 已知函数 ，则 图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 碳 14 是碳元素的一种同位素，具有放射性 . 活体生物组织内的碳 14 质量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳 14 开始衰减 . 已知碳 14 的半衰期为 5730 年，即生物死亡 年后，碳 14 所剩质量 ，其中 为活体生物组织内碳 14 的质量 . 科学家一般利用碳 14 这一特性测定生物死亡年代 .2023 年科学家在我国发现的某生物遗体中碳 14 的质量约为原始质量的 0.92 倍，已知 ，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（ ） A. 金（公元 年） B. 元（公元 年） C. 明（公元 年） D. 清（公元 1616-1911 年） 6. 已知关于 的不等式 恰有四个整数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ） A B. C. D. 8. 函数 的单调区间为（ ） A. 在 上单调递减，在 上单调递增 B. 在 上单调递减，在 上单调递增 C. 在 上单调递增，在 上单调递减 D. 在 上单调递增，在 上单调递减 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 下列比较大小正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 中文 “ 函数 ” 一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是 “ 凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数 ” ，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 定义函数 为实数 的小数部分， 为不超过 的最大整数，则不正确的有（ ） A. 的最小值为 0 ，最大值为 1 B. 在 为增函数 C. 是奇函数 D. 满足 12. 已知定义在 的函数 满足：当 时，恒有 ，则（ ） A. B. 函数 在区间 为增函数 C. 函数 在区间 为增函数 D. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分， 16 题第一空 2 分，第二空 3 分． 13. 命题 “ ∀ x ∈ R ， <0” 的否定是 ________________ ． 14. 已知 在定义域内单调，则 的取值范围是 _____________ ． 15. 已知 ，若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为 __________ . 16. 已知函数 的定义域为 ，满足 ， 的图象关于直线 对称，且 ，则 ______ ； ______ . 附注： . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各式的值 （ 1 ） （ 2 ）设 ， 的值 . 18. 已知集合 ， ． （ 1 ） 若 ，求 ； （ 2 ） 若 ，求实数 a 取值集合． 19. 已知幂函数 （ ）是偶函数，且在 上单调递增． （ 1 ）求函数 的解析式； （ 2 ）若 ，求 的取值范围； 20. 已知函数 是定义在 上的奇函数 . （ 1 ） 当 时，求 ， 的值： （ 2 ） 若函数 上单调递减 . （ i ）求实数 的取值范围： （ ii ）若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 21. 2023 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 5000 万元，每生产 （百辆），需另投入成本 （万元），且 ，已知每辆车售价 15 万元，全年内生产的所有车辆都能售完 . （ 1 ） 求 2023 年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式； （ 2 ） 2023 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 . 22. 函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为 y 关于 x 的奇函数，给定函数 ． （ 1 ） 求 的对称中心；