浙江省绍兴市稽山中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 （原卷全解析版）

2022 学年第二学期高一期中教学质量调测试卷 高一数学 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设 ，则复数 的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 若直线 不平行于平面 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与 平行 B. 内不存在与 平行的直线 C. 内所有直线与 异面 D. 内所有直线与 相交 3. 在 △ ABC 中，已知 ， ， ，则角 为（ ） A. 60 ° B. 30 ° 或 150 C. 60 ° 或 120 ° D. 120 ° 4. 已知向量 ， ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 5 已知 ，则 （ ） A. B. C. -3 D. 3 6. 已知函数 ，则方程 的根的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 已知 为球 的球面上的三个点， ⊙ 为 的外接圆，若 ⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量 ，对任意的 ，恒有 ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 3 分，部分选对的得 1 分，有选错的或不选的得 0 分） 9. 若复数 为 的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 10. 设 的内角 所对的边分别为 ，则下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 为钝角三角形 C. 若 ，则符合条件 有两个 D. 若 ，则 为等腰三角形或直角三角形 11. 已知函数 则下列说法正确的是（ ） A. ，使 成立 B. 的图象关于原点对称 C. 若 ，则 D. 对 有 成立 12. 已知四边形 是边长为 1 的菱形， ，动点 在菱形内部及边界上运动，设 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 2 C. D. 当 时，点 的轨迹长度是 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为 1 的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为 ______ ． 14. 已知直线 和平面 . 给出下列三个论断： ① ∥ ； ② ∥ ； ③ . 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ___________ . 15. 公元前 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 ，这一数值也可以表示为 . 若 ，则 ___________ . 16. 已知 是边长为 4 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值为 __________ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 ． （ 1 ） 求 与 的夹角； （ 2 ） 若 在 方向上 投影向量为 ，求 的值． 18 已知函数 ． （ 1 ） 求函数 的最小正周期； （ 2 ） 当 时，求 的取值范围． 19. 如图，已知在长方体 中， ， ，点 是 的中点． （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）求三棱锥 的体积． 20. 设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向量 与 平行． （ 1 ） 若 ， ，求 的面积； （ 2 ） 若 ，求角 大小． 21. 在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 作一条直线分别交线段 ， 于点 ， ． （ 1 ） 若 ， ， ， ，求 ； （ 2 ） 求 与 面积之比的最小值． 22. 如图，某城市有一条从正西方 通过市中心 后转向东偏北 方向 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，并在 上分别设置两个出口 在 的东偏北 的方向（ 两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于 之间相距较远，计划在 之间设置一个服务区 ． （ 1 ） 若 在 的正北方向且 ，求 到市中心 的距离和最小时 的值； （ 2 ） 若 在市中心 的距离为 ，此时 在 的平分线与 的交点位置，且满足 ，求 到市中心 的最大距离． 2022 学年第二学期高一期中教学质量调测试卷 高一数学 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设 ，则复数 的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 直接根据复数虚部的定义进行求解即可 . 【详解】 复数 的虚部为 ， 故选： A 2. 若直线 不平行于平面 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 内存在一条直线与 平行 B. 内不存在与 平行的直线 C. 内所有直线与 异面 D. 内所有直线与 相交 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据线面位置关系逐一分析即可 . 【详解】 若 内存在一条直线与 平行，则由 和线面平行判定定理可知 ，与已知矛盾，故 内不存在直线与 平行， A 错误， B 正确； 记 ，当 内直线 a 过点 A ，则 与 a 相交， C 错误； 当 内直线 b 不过点 A ，则 与 b 异面， D 错误. 故选： B 3. 在△ ABC 中，已知 ， ， ，则角 为（ ） A. 60 ° B. 30 °或 150 C. 60 °或 120 ° D. 120 ° 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据正弦定理可得 ，得 或 120 °