山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题（全解析版）

山东省 潍坊市 2023 年潍坊市普通高中学科素养能力测评 高三 数学 本试卷共 4 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1 ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 2. 已知 是虚数单位，若非零复数 满足 ，则 （） A. B. C. D. 3. 已知函数 ，下列函数是奇函数的是（） A. B. C. D. 4. 在 中， ，点 为 的中点，设 ， ，则 （） A. B. C. D. 5. 已知 为坐标原点，点 在 轴正半轴上，点 在第一象限，且 ， ，点 在第四象限，且 ， ， ， ，则 （） A. B. C. D. 6. 已知直线 ： 和曲线 ： 有公共点，则实数 的取值范围为（） A. B. C. D. 7. 已知奇函数 在 上可导，其导函数为 ，且 恒成立，则 （） A. 1 B. C. 0 D. 8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 称为 “ 斐波那契数列 ” ．若把该数列 的每一项除以 所得的余数按相对应的顺序组成新数列 ，则数列 的前 项和是（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 . 已知函数 ，则（） A. 的最小值为 B. 的图象关于点 对称 C. 直线 是 图象的一条对称轴 D. 在区间 上单调递减 10. 已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项积为 ，则（） A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 是等比数列 11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，过 的直线交双曲线 的右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ， 的内心，则（） A. 点 的横坐标为 2 B. 当 时， C. 当 时， 内切圆的半径为 D . 12. 如图所示的六面体中， ， ， 两两垂直， 连线经过三角形 的重心 ，且 ，则（） A. 若 ，则 平面 B. 若 ，则 平面 C. 若 五点均在同一球面上，则 D. 若点 恰为三棱锥 外接球的球心，则 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 已知 ， 为单位向量， ，则 ________ ． 14. 已知函数 ，若方程 在区间 上有且仅有两个实数解 ，则实数 的取值范围为 ________ ． 15. 正三棱台 中， ， ，点 ， 分别为棱 ， 的中点，若过点 ， ， 作截面，则截面与上底面 的交线长为 ________ ． 16. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 的焦点为 ，过 上一点 （异于原点 ）作 的切线，与 轴交于点 ．若 ， ，则 ________ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ． （ 1 ）求角 ； （ 2 ）若 为边 上一点，且满足 ， ，证明： 为直角三角形． 18. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ． 19. 某地区未成年男性的身高 （单位： cm ）与体重平均值 （单位： kg ）的关系如下表 1 ： 表 1 未成年男性的身高与体重平均值 身高 /cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重平均值 /kg 直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数 （如表 2 ）．误差平方和越小、拟合优度判断系数 越接近 1 ，拟合度越高． 表 2 拟合函数对比 函数模型 函数解析式 误差平方和 指数函数 二次函数 幂函数 （ 1 ）问哪种模型是最优模型？并说明理由； （ 2 ）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为 ；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为 ．记时刻 的未成年时期骨细胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻 的未成年时期肌肉细胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重 关于身高 的函数模型； （ 3 ）在（ 2 ）的条件下，若 ， ．当刚出生的婴儿身高为 50cm 时，与（ 1 ）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由． 注： ， ；婴儿体重 符合实际，婴儿体重 较符合实际，婴儿体重 不符合实际． 20. 如图，三棱锥 平面展开图中，