重庆市长寿区中学校2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题（全解析版）

重庆市 长寿区中学校 2022-2023 学年高二上学期 1 月期末考试 数学试题 试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 注意事项： 答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上 . 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑 . 答非选择题时，必须使用 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上． 考试结束后，将答题卷交回． 一．单选题：本小题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上 1 ．已知直线 l 过 、 两点，则直线 l 的倾斜角的大小为（      ） A ． B ． C ． D ． 2 ．已知圆 和圆 ，则圆 与圆 的位置关系为（      ） A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．相离 3 ．三棱柱 中， 为棱 的中点，若 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 4 ．双曲线 上的点 到上焦点的距离为 12 ，则 到下焦点的距离为（      ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 或 22 D ． 24 5 ．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 6 ．已知点 P 是圆 C ： 的动点，直线 l ： 上存在两点 A ， B ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是（      ） A ． B ． C ． D ． 7 ．设拋物线 的焦点是 ，直线 与抛物线 相交于 两点，且 ，线段 的中点 到拋物线 的准线的距离为 ，则 的最小值为（      ） A ． B ． C ． 3 D ． 8 ．已知点 P 是椭圆 C ： 上一点，点 、 是椭圆 C 的左、右焦点，若 的内切圆半径的最大值为 ，若椭圆的长轴长为 4 ，则 的面积的最大值为（      ） A ． 2 B ． 2 C ． D ． 二．多选题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9 ．下列说法中，正确的有（      ） A ．直线 在 y 轴上的截距是 2B ．直线 经过第一、二、三象限 C ．过点 ，且倾斜角为 90° 的直线方程为 D ．过点 且在 x 轴， y 轴上的截距相等的直线方程为 10 ．已知直线 ，下列命题中正确的是（      ） A ．若 ，则 B ．若 ，则 或 C ．当 时， 是直线 的方向向量 D ．原点到直线 的最大距离为 11 ．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马 中， 平面 ABCD ，底面 是正方形，且 ， E ， F 分别为 PD ， PB 的中点，则（      ） A ． 平面 PAC B ． 平面 EFC C ．点 F 到直线 CD 的距离为 D ．点 A 到平面 EFC 的距离为 12 ．已知数列 中， ， ，则关于数列 的说法正确的是（      ） A ． B ．数列 为递增数列 C ． D ．数列 的前 n 项和小于 三．填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填写在题中的横线上 . 13 ．已知数列 是等差数列， ，则 ______ 14 ．正项等比数列 中， ，则 的值是 ________. 15 ．已知关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的范围 ______. 16 ．已知 是椭圆 和双曲线 的交点， ， 是 ， 的公共焦点， ， 分别为 ， 的离心率，若 ，则 的取值范围为 ______ ． 四．解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤 . ） 17 ．已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的直线 l 与圆 A 相交于 M ， N 两点， Q 是 MN 的中点， ． (1) 求圆 A 的标准方程； (2) 求直线 l 的方程． 18 ．在数列 中， ， ， ． (1) 设 ，求证：数列 是等比数列； (2) 求数列 的前 项和 ． 19 ．三棱台 的底面是正三角形， 平面 ， ， ， ， E 是 的中点，平面 交平面 于直线 l ． (1) 求证： ； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值． 20 ．如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， . (1) 证明：平面 平面 ； (2) 若 是边长为 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积 . 21 ．抛物线 ，抛物线的焦点是双曲线 的右顶点，过点 作直线与 交于 两点 (1) 求 的方程． (2) 若 的一条弦 经过 的焦点，且直线 与直线 平行，试问是否存在常数 ，使得 成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 22 ．已知点 与 ，动点 满足直线 ， 的斜率之积为 ，则点 的轨迹为曲线 . (1) 求曲线 的方程； (2) 若点 在直线 上，直线 ， 分别与曲线 交于点 ， ，求 与 面积之比的最大值 . 长寿区中学校 2022-2023 学年高二上学期 1 月期末考试 数学答案： 1 ． A 【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角 【详解】直线 过 、 两点，则直线 的斜率 ， ∴ 直线的倾斜角为 ． 故选： A ． 2 ． A 【分析】根据两圆的标准方程可知圆心坐标和半径大小，只需比较圆心距与两圆半径之差以及两圆半径之和的大小即可得出两圆位置关系 . 【详解】由题意可知，圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ； 两圆心距离为 ，此时 所以，圆 与圆 的位置关系为内含 . 故选： A. 3 ． D 【分析】利用