2023-2024学年山西省大同市大同一中高二上学期10月月考考试数学试题（全解析版）

2023-2024 学年山西省大同市大同一中高二上学期 10 月月考考试 数学 学校： ___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ 一、选择题 1 ．已知 的面积为 , , , 则 ( ) A. B. C. D. 2 ．如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 ，向山顶前进 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 . 若 ，山坡对于地平面的坡度为 ，则 ( ) A. B. C. D. 3 ．为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻 . 某天，一艘巡逻舰从海岛 A 出发，沿南偏东 的方向航行 40 海里后到达海岛 B ，然后再从海岛 B 出发，沿北偏东 的方向航行了 海里到达海岛 C . 若巡逻舰从海岛 A 出发沿直线到达海岛 C ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为 ( ) A. 北偏东 ， B. 北偏东 ， C. 北偏东 ， D. 北偏东 ， 4 ．在 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ， 是 的平分线， ， ，则 的最小值是 ( ) A.6 B. C. D.10 5 ．克罗狄斯 · 托勒密是希腊数学家 , 他博学多才 , 既是天文学权威 , 也是地理学大师 . 托勒 密定理是平面几何中非常著名的定理 , 它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系 , 该定理的内容为圆的内接四边形中 , 两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和 . 已知四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 , 且 , . 若 , 则圆 O 的半径为 ( ) A.4 B.2 C. D. 6 ．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度 , 在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB , 高为 m, 在它们之间的地面上的点 M （ B , M , D 三点共线）处测得楼顶 A , 教堂顶 C 的仰角分别是 15° 和 60°, 在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°, 则小明估算索菲亚教堂的高度为 ( ) A.20m B.30m C. D. 7 ．如图 , 内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 且 , 延长 BA 至 D , 是 是以 BC 为底边的等腰三角形 , , 当 时 , 边 ( ) A. B. C. D. 8 ．如图 , 平面四边形 A ､ B ､ C ､ D , 己知 , , , , 则 A , B 两点的距离是 ( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9 ．在 中， ， ， ，则 ( ) A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 10 ．对于 , 角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 下列说法正确的有 ( ) A. 若 , 则 一定为等腰三角形 B. 若 , 则 一定为等腰三角形 C. 若 , , , 则 有两解 D. 若 , 则 一定为锐角三角形 三、填空题 11 ．明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下 , 东毗中山陵 , 南临梅花山 , 位于钟山风景名胜区内 , 其占地面积达 170 余万平方米 , 是中国规模最大的帝王陵寝之一 . 明孝陵景区共有 8 个门 ,1 号门位于植物园路 ,4 号门在 1 号门的南偏东 的 492m 处 ,8 号门在 4 号门的东偏北 方向 , 且 1 号门在 8 号门的西偏南 方向 , 则 1 号门到 8 号门的距离约为 ______m. ( 结果精确到整数部分 , 参考数据 : 取 , , , ) 12 ．在 中 , 角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c , , , , 则 _________________. 13 ．如图，在 中， ， ， O 是 外一点， ， ， 则平面四边形 OACB 面积的最大值是 _ _________. 四、解答题 14 ．一个人在静水中游泳时，速度的大小为 . 当他在水流速度的大小为 的河中游泳时 . （ 1 ）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到 1° ）？实际前进速度的大小为多少？ （ 2 ）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到 1° ）？实际前进速度的大小为多少？ 15 ．已知 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 . （ 1 ）求 B ; （ 2 ）若 , 求 面积的最大值 . 参考答案 1 ．答案： D 解析：因为 , , 的面积为 , 解得： , , 故选： D . 2 ．答案： C 解析：由题意得 ，在 中，由正弦定理得 ， . 在 中， ， . 故选 C. 3 ．答案： C 解析：据题意知，在 中， ， 海里， 海里， 所以 ， 所以 海里 . 又 ，所以 ， 又因为 为锐角，所以 ， 所以航行的方向和路程分别为北偏东 ， 海里 . 故选 C. 4 ．答案： C 解析：由 得 ，整理得 ， ， ，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 . 故选 C . 5 ．答案： B 解析：由托勒密定理 , 得 . 因为 , 所以 . 设圆 O 的半径为 R , 由正弦定理 , 得 . 又 , 所以 . 因为 , 所以 , 因为 , 所以 , 所以 , 所以 , 则 , 故 . 故选： B. 6 ．答案： D 解析： , 由题意知： , , 所以 , 在 中 , , 在 中 , 由正弦定理得 , 所以 , 在 中 , . 故选： D. 7 ．答案： A 解析： 已知 且 , 则由余弦定理 代入 , 化简得： , , 又由 , , 所以 , , , 根据等腰三角形的性质 , 设 , , 所以有 整理得 , 故 , 故选 A. 8 ．答案： D 解析 : 由题意可知在 中 , 有 , , , 所以 , 由正弦定理可得 , 而 , 故 , 又 , 在 中 , , 由正弦定理可得 , 在 中 , 由余弦定理可得 . 故选 :D 9 ．答案： AB 解析：由题意可知， ，故 A 正确； 在 中， ，由余弦定理得 ，解得 ，故 B 正确； ，故 C 错误； 设 外接圆半径为 R ，由正弦定理得 ，故 D