解析几何运算处理技巧（学案）高中数学思想方法专题

解析几何 运算处理技巧 考点一 回归定义，以逸待劳 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果． [ 典例 ] 　如图， F 1 ， F 2 是椭圆 C 1 ： ＋ y 2 ＝ 1 与双曲线 C 2 的公共焦点， A ， B 分别是 C 1 ， C 2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF 1 BF 2 为矩形，则 C 2 的离心率是 ( 　　 ) A. 　　　　　　　　　 B. C. D. [ 解题观摩 ] 　 由已知，得 F 1 ( － ， 0) ， F 2 ( ， 0) ， 设双曲线 C 2 的实半轴长为 a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得 解得 a 2 ＝ 2 ， 故 a ＝ . 所以双曲线 C 2 的离心率 e ＝ ＝ . [ 答案 ] 　 D 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立 | AF 1 | ， | AF 2 | 的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长 a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．　　　　 [ 对点训练 ] 1. 如图，设抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上 有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点 A ， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 △ BCF 与 △ ACF 的面积之比是 ( 　　 ) A. B. C. D. 解析： 选 A 　由题意可得 ＝ ＝ ＝ ＝ . 2 ．抛物线 y 2 ＝ 4 mx ( m ＞ 0) 的焦点为 F ，点 P 为该抛物线上的动点，若点 A ( － m, 0) ，则 的最小值为 ________ ． 解析： 设点 P 的坐标为 ( x P ， y P ) ，由抛物线的定义，知 | PF | ＝ x P ＋ m ，又 | PA | 2 ＝ ( x P ＋ m ) 2 ＋ y ＝ ( x P ＋ m ) 2 ＋ 4 mx P ，则 2 ＝ ＝ ≥ ＝ ( 当且仅当 x P ＝ m 时取等号 ) ，所以 ≥ ，所以 的最小值为 . 答案： 考点二 设而不求，金蝉脱壳 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． [ 典例 ] 　 已知椭圆 E ： ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的右焦点为 F (3 ， 0) ，过点 F 的直线交 E 于 A ， B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则 E 的标准方程为 ( 　　 ) A. ＋ ＝ 1 B. ＋ ＝ 1 C. ＋ ＝ 1 D. ＋ ＝ 1 [ 解题观摩 ] 　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 ， y 1 ＋ y 2 ＝－ 2 ， ① － ② 得 ＋ ＝ 0 ， 所以 k AB ＝ ＝－ ＝ . 又 k AB ＝ ＝ ，所以 ＝ . 又 9 ＝ c 2 ＝ a 2 － b 2 ， 解得 b 2 ＝ 9 ， a 2 ＝ 18 ， 所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝ 1. [ 答案 ] 　 D (1) 本题设出 A ， B 两点的坐标，却不求出 A ， B 两点的坐标，巧妙地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率 “ 算两次 ” 建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． (2) 在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到： ① 凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施 “ 设而不求 ” ； ② “ 设而不求 ” 不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．　　　　 [ 对点训练 ] 1 ．已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左、右顶点． P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E ，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 ( 　　 ) A. B. C. D. 解析： 选 A 　设 OE 的中点为 G ，由题意设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ a ) ， 分别令 x ＝－ c 与 x ＝ 0 得 | FM | ＝ k ( a － c ) ， | OE | ＝ ka ， 由 △ OBG ∽△ FBM ，得 ＝ ， 即 ＝ ， 整理得 ＝ ，所以椭圆 C 的离心率 e ＝ . 2 ．过点 M (1,1) 作斜率为－ 的直线与椭圆 C ： ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 相交于 A ， B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ________ ． 解析： 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 ∴ ＋ ＝ 0 ， ∴ ＝－ · . ∵ ＝－ ， x 1 ＋ x 2 ＝ 2 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2 ， ∴ － ＝－ ， ∴ a 2 ＝ 2 b 2 . 又 ∵ b 2 ＝ a 2 － c 2 ， ∴ a 2 ＝ 2( a 2 － c 2 ) ， ∴ a 2 ＝ 2 c 2 ， ∴ ＝ . 即椭圆 C 的离心率 e ＝ . 答案： 考点三 巧设参数，变换主元 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件． [ 典例 ] 　设椭圆 ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的左、右顶点分别为 A ， B ，点 P 在椭圆上且异于 A ， B 两点， O 为坐标原点．若 | AP | ＝ | OA | ，证明直线 OP 的斜率 k 满足 | k | ＞ . [ 解题观摩 ]