河南省新高中创新联盟TOP二十名校2023-2024学年高二下学期2月调研考试数学试题（全解析版）

绝密 ★ 启用前 河南省 新高中创新联盟 TOP 二十名校 2 023-2024 学年 高二年级 2 月调研考试 数 学 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结来后，将本试卷和答题卡一并收回 . 一 ､选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 0 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知直线 的倾斜角为 ，则 （ ） A. B. C. D.0 2. 已知函数 ，则 从 1 到 的平均变化率为（ ） A.2 B. C. D. 3. 已知直线 ， 䒴 ， ，则 （ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 设 是函数 的导函数，则 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱 中， 为侧棱 的中点； ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线 的焦点为 为 上一点， ，当 的周长最小时， 的面积为（ ） A. B.1 C. D.2 7. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ） A . B. . C. D. 8. 已知过原点的直线交椭圆 于 两点，椭圆 的右焦点为 ，且 ，若椭圆 的离心率 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二 ､多选题 ：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列 的前 项积为 ，公比 ，则（ ） A. B. C. 当 时， 最 小 D. 当 时， 最 大 11. 在正棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ，则（ ） A. 当 时，三棱锥 的体积为定值 B. 当 时，不存在点 ，使得 C. 当 时，点 的轨迹为长度为 2 的线段 D. 当 时，点 的轨迹所构成图形的面积为 三 ､填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 函数 的图象在点 处的切线方程是 __________. 13. 已知等差数列 满足 ，则数列 的通项公式为 _ _________ ；记数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为 __________. 14. 已知直线 与双曲线 交于 两点， 为双曲线 上在第一象限内一点，且 （ 为坐标原点），则 到 的距离最大值为 __________. 四 ､解答题 ：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明 ､证明过程或演算步骤 . 15. （本小题满分 13 分） 已知圆 的圆心 在直线 上，且半径为 1 ，点 到直线 的距离为 . （ 1 ）求圆 的方程； （ 2 ）若点 在第二象限，试判断圆 与圆 的位置关系 . 16. （本小题满分 15 分） 如图 1 ，在矩形 中， ，点 分别是 上一点，且 ，过点 作 于点 ，将 剪掉 ，并将四边形 沿直线 折叠，使 （如图 2 ），连接 ，取 的中点 ， 连 接 . （ 1 ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （ 2 ）求平面 与平面 的夹角的余弦值 . 17. （本小题满分 15 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 . （ 1 ）证明：数列 是等差数列； （ 2 ）已知 ，求数列 的前 项和 . 18. （本小题满分 17 分） 已知双曲线 的焦点 到一条渐近线 的距离为 . （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）若直线 交双曲线 于 两点， 是坐标原点，若 是弦 的中点，求 的面积 . 19. （本小题满分 17 分） 如图，已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 是椭圆 上任意一点，且 的最小值为 . （ 1 ）求椭圆 的方程； （ 2 ）已知点 ，点 关于原点的对称点为 ，直线 与椭圆 的另一交点分别为 . 试判断直线 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由 . 新高中创新联盟 TOP 二十名校高二年级 2 月调研考试 · 数学 参考答案 ､提示及评分细则 1.C 由题意知直线的斜率为 ，所以 ，解得 . 故选 C. 2.B 函数 从 1 到 的平均变化率为 . 故选 B. 3.B 由 ，得 ，且 ，解得 ，由 ，得 ，故 . 故选 B. 4.C 由 ，得 ，或 ，由 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，由图知，只有 C 选项的图象符合 . 故选 C. 5.D 不妨设 ，故 ，所以 ，即 ，在直三棱柱 中， 平面 平面 ，所以 . 以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，如图所示，则 ， ，所以 ，所以 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 . 故选 D. 6.A 如图，作 垂直于 的准线 ，垂足为 ，由抛物线的定义知 ，所以 的周长为 ，要使周长最小，则必须使得 三点共线，即点 在过 垂直于 的直线上（图中点 处），易求点 ，所以 在 边上的高为 1 ，故其面积为 . 故选 A. 7.D 因为 ，故 ， ，所以 ，所以 . 故选 D. 8.A 设椭圆 的左焦点为 ，连接 ，由 ，得 ，故四边形 为矩形，所以 . 设 ，所以 ，由椭圆的定义，得 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，又 ，