浙江省东阳中学、东阳市外国语学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题（原卷全解析版）

东阳中学 2023 年上学期期中考试卷 高一数学 命题：李军红审题：李军红 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知向量 ， , 则 A. B. C. 5 D. 25 3. 棱长为 4 的正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 冬奥会会徽以汉字 “ 冬 ” 为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用 30° 、 4 5° 、 60° 、 90° 、 120° 、 150° 等特殊角度下．为了判断 “ 冬 ” 的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了 ，测得 ， ， ， ，若点 C 恰好在边 BD 上，请帮忙计算 的值（ ） A. B. C. D. 5. 设 ､ 是互不重合的平面， ､ ､ 是互不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A 若 ， ， ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 6. 已知命题 ，命题 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 平行四边形 中， ， ， ，点 在边 上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分 . 9. 以下四种说法正确的是（ ） A. =i B. 复数 的虚部为 C. 若 z = ，则复平面内 对应的点位于第二象限 D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数 10. 已知 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知非零向量 ， ，对任意 ，恒有 ，则（ ） A. 在 上的投影向量为 B. C. D. 12. 如图，矩形 中， ， ， 为边 的中点，沿 将 折起，点 折至 处（ 平面 ），若 为线段 的中点，平面 与平面 所成锐二面角 ，直线 与平面 所成角为 ，则在 折起过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 面积的最大值为 C. D. 三棱锥 体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 若实数 满足 ，则 _____________ ． 14. 已知 ， 是与 方向相同的单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 _______ . 15. 已知圆锥 SO ，其侧面展开图是半圆，过 SO 上一点 P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱 PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱 PO 的侧面积与圆锥 SO 的侧面积的比为 ，则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的体积的比为 ________ . 16. 已知函数 ，若函数 有三个不同的零点 ，且 ，则 的取值范围是 _________ ． 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 . 17. 已知向量 ， ， ． （ 1 ） 若 ，求实数 m ， n 的值； （ 2 ） 若 ，求实数 k 的值． 18. 如图 , 在三棱柱 中 , 平面 . （ 1 ） 求证 : 平面 ; （ 2 ） 求直线 与平面 所成角的大小 . 19. 已知函数 ， . （ 1 ） 求函数 的对称轴； （ 2 ） 若 对 任意的 恒成立，求 的取值范围 20. 已知 、 、 分别是 三个内角 、 、 的对边，且 . （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若锐角 的面积为 ，求 的取值范围 . 21. 如图，在多面体 中，平面 平面 ， 平面 ， 和 均为正三角形， ， . （ 1 ） 在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，确定 位置；若不存在，说明理由； （ 2 ） 求平面 与平面 所成的锐二面角的正切值 . 22. 已知函数 ，且函数 偶函数，设 (1) 求 的解析式； (2) 若不等式 ≥0 在区间 (1 ， e 2 ] 上恒成立，求实数 的取值范围； (3)若方程 有三个不同的实数根，求实数 的取值范围． 东阳中学 2023 年上学期期中考试卷 高一数学 命题：李军红审题：李军红 一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】 A 【解析】 【分析】 首先利用复数代数形式的除法运算求出复数 ，再求出复数 的共轭复数的模即可； 【详解】 解： ， ， 故选： 【点睛】 本题考查复数代数形式的除法运算及复数的模的计算，属于基础题 . 2. 已知向量 ， , , 则 A. B. C. 5 D. 25 【答案】 C 【解析】 【详解】 将 平方得 ，选 C. 3. 棱长为 4 的正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 由正方体的内切球直径为正方体棱长，直接求解 . 【详解】由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径， 得 ， ，故表面积为 ， 故选： C. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外