2023-2024学年湖北省武汉外国语学校新高考联考协作体高二下学期2月开学收心考试数学试题（全解析版）

湖北省武汉市外国语学校 2 023- 2024 年新高考联考协作体高二 2 月收心考试 高二数学试卷 命题学校：汉川一中 命题教师：谢敏 考试时间： 2024 年 2 月 20 日下午 15 : 00 — 1 7 : 00 试卷满分： 150 分 注意事项： 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2 ．选择题的作答：每小题选出 答案 后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案 标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3 ．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1 ．已知直线 与直线 则 是 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2 ．在数列 中，若 ， ，则 （ ） A ． 2 B ． C ． D ． 1 3 ．从 2 至 6 的 5 个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．如图， 为四面体 的棱 的中点， 为 的中点，点 在线段 上，且 ，设 ， ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ．已知两圆 ， ，动圆 与圆 外切，且和圆 内切，则动圆 的圆心 的轨迹方程为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6 ．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为 （ ） A ． 1 B ． 4 C ． 9 D ． 6 7 ．正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ． 1 8 ．已知等差数列 与 的前 项和分别为 ， ，且 ，则 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件 “ 摸出红色球或蓝色球 ” ，事件 “ 摸出紫色球或蓝色球 ” ，事件 “ 摸出黄色球或蓝色 球 ” ，则下面结论正确的是：（ ） A ． B ． 与 相互独立 C ． 与 相互独立 D ． 与 相互独立 1 0 ．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结论正确的是：（ ） A ．直线 与曲线 一定有交点 B ．曲线 围成的图形的周长是 C ．曲线 围成的图形的面积是 D ．曲线 上的任意两点间的距离不超过 2 11 ．已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于 ， 两点，以线段 为直径的圆交 轴于 ， 两点，交准线 于 点，则下面结论正确的是：（ ） A ．以 为直径的圆与 轴相切 B ． C ． D ． 的最小值为 1 2 ． 棱 长为 1 的正方体 中，点 满足 ， ， ，则下面结论正确的是：（ ） A ．当 时， B ．当 时，三棱锥 的体积为定值 C ．当 时，直线 与平面 所成的角不可能为 D ．当 时， 的最小值为 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ．已知 ， ，其中 ， ，若 ，则 的最小值为 _ _____ ． 14 ．经过点 的直线 与连接 ， 两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的范围是 _ _____ ． 15 ．已知数列 为等比数列， ，公比 ，若 是数列 的前 项积，则 取最大值时， 的值为 _ _____ ． 16 ．设 是双曲线 的右焦点， 为坐标原点，过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 的内切圆与 轴切于点 ，且 ，则 的离心率为 _ _____ ． 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分， 18~22 题 12 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 ．已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 的内角平分线所在的直线方程为 ，求： （ 1 ）顶点 的坐标； （ 2 ）直线 的方程． 18 ．甲、乙两同学组成 “ 星队 ” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （ 1 ）求甲在 4 轮活动中，恰有 3 轮连续猜对成语的概率； （ 2 ）求 “ 星队 ” 在两轮活动中至少猜对 3 个成语的概率． 1 9 ．已知圆 的圆心在第一象限且在直线 上，与 轴相切，被直线 截得的弦长为 ． （ 1 ）求圆 的方程； （ 2 ）设 是圆 上任意一点， ， ，求 的最大值． 2 0 ．设各 项 均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若数列 满足 ，设 ，求数列 的前 项和 ． 2 1 ．如图，三棱柱 中， ， 是 的中点， ． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）求点 到平面 的距离； （ 3 ）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 2 2 ．已知椭圆 的焦距为 4 ， 且 点 在椭圆 上． （ 1 ）求椭圆 的方程