北京市海淀区北京
1
01
中学
2020-2021
学年高二（下）期中考试
数
学
一、选择题（共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分）
.
1
．一个首项为
23
，公差为整数的等差数列，从第
7
项开始为负数，则它的公差是（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
3
C
．﹣
4
D
．﹣
6
2
．设等比数列
{
a
n
}
的公比
q
＝
2
，前
n
项和为
S
n
，则＝（ ）
A
．
2
B
．
4
C
．
D
．
3
．下列函数中，在（
0
，
+∞
）上为增函数的是（ ）
A
．
f
（
x
）＝
sin2
x
B
．
f
（
x
）＝
xe
x
C
．
f
（
x
）＝
x
3
﹣
x
D
．
f
（
x
）＝﹣
x
+
lnx
4
．函数
f
（
x
）＝
x
2
lnx
的最小值为（ ）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
5
．已知函数
f
（
x
）＝
x
3
+
ax
2
+
bx
+
c
，则
“
a
2
﹣
3
b
＞
0”
是
“
f
（
x
）有三个不同的零点
”
的（ ）
A
．充分而不必要条件
B
．必要而不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
6
．函数
f
（
x
）＝
3sin
x
+4cos
x
的
图象
在点
T
（
0
，
f
（
0
））处的切线
l
与坐标轴围成的三角形面积等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．若数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝（﹣
1
）
n
（
3
n
﹣
2
），则
a
1
+
a
2
+…+
a
10
＝（ ）
A
．
15
B
．
12
C
．﹣
12
D
．﹣
15
8
．若数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
＝
2
a
n
+1
，
n
∈
N*
，则下列说法不正确的是（ ）
A
．
a
5
＝﹣
16
B
．
S
5
＝﹣
63
C
．数列
{
a
n
}
是等比数列
D
．数列
{
S
n
﹣
1}
是等比数列
9
．若函数
f
（
x
）＝
lnx
﹣
ax
+1
，
a
∈
R
有两个零点，则实数
a
的取值范围是（ ）
A
．（﹣
∞
，
1
）
B
．（
0
，
1
）
C
．（﹣
1
，
1
）
D
．（
1
，
2
）
10
．已知函数
f
（
x
）＝
x
3
+
ax
+
b
，其中
a
，
b
∈
R
，则下列选项中的条件使得
f
（
x
）仅有一个零点的有（ ）
A
．
a
＜
b
，
f
（
x
）为奇函数
B
．
a
＝
ln
（
b
2
+1
）
C
．
a
＝﹣
3
，
b
2
﹣
4≥0
D
．
a
＝﹣
1
，
b
＝
二、填空题：共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分．
11
．设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
＝﹣
3
，
S
5
＝﹣
10
，则
a
5
＝
，
S
n
的最小值为
．
12
．设数列
{
a
n
}
为等比数列，其公比为
q
，已知
a
1
+
a
2
+
a
3
+
a
4
＝
3
，
a
5
+
a
6
+
a
7
+
a
8
＝
48
，则
＝
．
13
．已知
x
轴为函数
f
（
x
）＝
x
3
+
ax
+
的
图象
的一条切线，则实数
a
的值为
．
14
．已知定义在区间（﹣
π
，
π
）上的函数
f
（
x
）＝
x
sin
x
+cos
x
，则
f
（
x
）的单调递增区间是
．
15
．已知函数
f
（
x
）＝
，其中
a
＞
0
．如果对于任意
x
1
，
x
2
∈
R
，且
x
1
＜
x
2
，都有
f
（
x
1
）＜
f
（
x
2
），则实数
a
的取值范围是
．
三、解答题共
4
小题，共
45
分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16
．已知公差不为
0
的等差数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＝
1
，且
a
1
，
a
2
，
a
6
成等比数列．
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）设
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
．
17
．在
①
S
2
＝
64
，
q
＜
0
，
②
S
3
＝
96
，
③
S
1
＝
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，前
n
项和为
S
n
，前
n
项积为
T
n
，
n
∈
N*
，满足
____
，
S
4
＝
80
．问
T
n
是否存在最大值？若存在，求出
n
的值；若不存在，请说明理由．
18
．已知函数
，曲线
y
＝
f
（
x
）在
x
＝
1
处的切线经过点（
2
，﹣
1
）．
（
Ⅰ
）求实数
a
的值；
（
Ⅱ
）设
b
＞
1
，求
f
（
x
）在区间
上的最大值和最小值．
19
．已知函数
f
（
x
）＝
lnx
+
ax
2
+
（
2
a
+1
）
x
．
（
1
）讨论
f
（
x
）的单调性；
（
2
）当
a
＜
0
时，证明：
f
（
x
）
≤
﹣
﹣
2
；
（
3
）若不等式
f
（
x
）＞
0
恰有两个整数解，求实数
a
的取值范围．
2021
北京市
101
中学高二（下）期中数学
参考答案
一、选择题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1
．一个首项为
23
，公差为整数的等差数列，从第
7
项开始为负数，则它的公差是（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
3
C
．﹣
4
D
．﹣
6
解：一个首项为
23
，公差为整数的等差数列，从第
7
项开始为负数，
则
，
解得﹣
≤
d
＜﹣
，
∵
d
∈
Z
，
∴
它的公差为﹣
4
．
故选：
C
．
2
．设等比数列
{
a
n
}
的公比
q
＝
2
，前
n
项和为
S
n
，则
＝（ ）
A
．
2
B
．
4
C
．
D
．
解：
S
5
＝
＝
31
a
1
，
a
2
＝
2
a
1
，
则
＝
＝
．
故选：
D
．
3
．下列函数中，在（
0
，
+∞
）上为增函数的是（ ）
A
．
f
（
x
）＝
sin2
x
B
．
f
（
x
）＝
xe
x
C
．
f
（
x
）＝
x
3
﹣
x
D
．
f
（
x
）＝﹣
x
+
lnx
解：对于
A
，
f
（
x
）＝
sin2
x
是周期函数，在（
0
，
+∞
）上无单调性，
∴
不满足题意；
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