四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题（文）试题(原卷全解析版）

仁寿一中南校区高 2021 级高三第一次调研考试 文科数学试题 本试卷分为第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1 ．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上 . 2 ．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号 3 ．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上 . 4 ．考试结束后，将答题卡交回 . 第 Ⅰ 卷 ( 选择题，共 60 分 ) 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 、 设全集 ，集合 ，集合 ，则 （     ） A ． B ． C ． D ． 2 、 已知复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，则 （         ） A ． B ． C ． D ． 3 、 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， … ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 8 人，则第三组中有疗效的人数为（         ） A ． 8 B ． 1 0 C ． 1 2 D ． 18 4 、 下列命题中，是真命题且是全称命题的是（     ） A ．对任意实数 a ， b ，都有 B ．梯形的对角线不相等 C ． D ．所有的集合都有子集 5 、 设双曲线 的虚轴长为 2 ，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（      ） A ． B ． C ． D ． 6 、 已知 p ： ，那么 p 的一个充分不必要条件是（     ） A ． B ． C ． D ． 7 、 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章 “ 衰分 ” 有如下问题： “ 今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱 . 欲令高爵出少，以次渐多，问各几何 ?” 意思是： “ 有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低） 5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这 5 个人各出多少钱 ?” 在这个问题中，若不更出 1 6 钱，则公士出的钱数为（         ） A ． 12 B ． 23 C ． 2 4 D ． 2 8 8 、 O 为坐标原点， F 为抛物线 的焦点， M 为 C 上一点，若 ，则 的面积为（      ） A ． B ． C ． D ． 8 9 、 已知正方体中 ， E 为 的中点，则直线 与 CE 所成角的余弦值为（         ） A ． B ． C ． D ． 10 、 如图， 中， ， ， P 为 CD 上一点，且满足 ，若 AC ＝ 3 ， AB ＝ 4 ，则 的值为（         ） A ． B ． C ． D ． 11 、 已知数列 是等比数列，则下列结论 ： ① 数列 是等比数列 ； ② 若 ， ，则 ； ③ 若数列 的前 n 项和 ，则 ； ④ 若 ，则数列 是递增数列 ； 其中 正确的 个数 是（         ） A ． B ． C ． D ． 12 、 已知 是定义在 上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时， ，则下列结论错误的是（      ） A ． 是以 4 为周期的周期函数 B ． C ．函数 有 3 个零点 D ．当 时， 第 Ⅱ 卷 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡上 . 已知函数 ．则 的值为 _______ 14 、 已知圆 . 若圆 与圆 有三条公切线，则 的值为 ________ 已知 ，则 ________ 16 、 定义一种运算 （ 为常数），且 则使函数 最大值为 的 值是 _______ 三､解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 . （一）必考题：共 60 分 . 17 、 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ． （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若 ，求 的面积． 18 、 某城市在创建 “ 国家文明城市 ” 的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中 100 天的空气质量指数（ AQI ）的监测数据，结果统计如下表： AQI 空气质量 优良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 17 48 20 15 (1) 某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失 S （单位：元）与空 气质量指数（ AQI ）（记为 x ）有关系式 ，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失 S 大于 400 元且不超过 800 元的概率 . (2) 若本次抽取得样本数据中有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成下面 列联表，并判断能否有 95% 的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关 . 重度污染 非重度污染 合计 供暖季的天数 非供暖季的天数 合计 100 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 、 如图，在四棱台 中， 底面 ， M 是 中点 . 底面 为直角梯形，且 ， ， .    (1) 求证：直线 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值 . 20 、 已知 O 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． （ 1 ） 求椭圆 C 的方程；