江苏省高邮市第一中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷（标准答案版）

江苏省高邮市第一中学 2023-2024 学年高三下学期初学情调研测试 数学试题 （考试时间： 120 分钟试卷满分： 150 分） 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 4 0 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 中元素个数 (     ) A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 (     ) A ． B ． C ． D ． 3. 已知 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 (     ) A. B. C. D. 4. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题： “ 今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？ ” 其大意是，现有俸粮 石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这 位官员，依照品级递减 石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，从二品分得俸粮是 (     ) A ． 石 B ． 石 C ． 石 D ． 石 5. 已知实数 ， ， 满足 ，则 的最小值 为 (     ) A. B . C . D . 6. 定义在 上的函数 和 的图象关于 轴对称，且函数 是奇函数，则函数 图象的对称中心为 (     ) A ． B ． C ． D ． 7. 已知 ， ，则 (     ) A ． B ． C ． D ． 8. 在平面直角坐标系 中 ， 已知 为圆 上两点 ， 点 ， 且 ， 则线段 的长的取值范围是 (     ) A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 某 学校 为了解 高三学生的 体重情况，采用分层随机抽样的方法从 高三 名 学生 中抽取了一个容量为 的样本．其中，男 生 平均体重为 千克，方差为 ；女 生 平均体重为 千克，方差为 ，男女人数之比为 ，下列说法正确的是 (     ) A. 样本为该 学校高三 的 学生 B . 每一位 学生 被抽中的可能性为 C . 该 校高三学生 平均体重 千克 D . 该 校高三学生 体重的方差为 10. 已知 ，函数 ，下列选项正确的有 (     ) A ． 若 的最小正周期 ，则 B ．当 时，函数 的图象向右平移 后得到 的图象 C ．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 D ．若 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是 11. 已知正方体 的棱长为 ，点 分别是棱 ， 的中点，点 是侧面 内一点 含边界 若 平面 ，则下列说法正确的有 (     ) A ．点 的轨迹为一条线段 B ．三棱锥 的体积为定值 C ． 的取值范围是 D ．直线 与 所成角的余弦值的最小值为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡的横线上． 12. 的展 开式中 的系 数为 _________ ． 13. 如图所示，一个球 的 内接圆台上下底面的半径分别为 和 ， 圆台的高为 ，则该球的表面积为 ________ ． 14. 已知离散型随机事件 发生的概率 ， ，若 ，事件 ， ， 分别表示 ， 不发生和至少有一个发生，则 ， ________. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （ 13 分） 已知锐角 的内角 的对边分别为 ，其外接圆半径 满足 ． （ 1 ） 求 的大小 ； （ 2 ） 若 ， ，求 的面积 ． 16. （ 15 分） 如图，在多面体 中，四边形 是边长为 的正方形， ， , ，平面 平面 . （ 1 ） 求证： ； （ 2 ） 求 平面 与平面 所成角 的余弦值 ． 17. （ 15 分） 已知圆 和定点 , 是圆 上任意一点，线 段 的 垂直平分线交 于点 ，设动点 的轨迹为曲线 E ． （ 1 ）求曲线 的方程 ； （ 2 ）设 ，过 的直线 交曲线 于 ， 两点 （ 点 M 在 轴上方 ） ，设直线 AM 与 BN 的斜率分别为 ，求证： 为定值． 18. （ 17 分） 某 手游 公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三 级 ，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是 Ⅰ 或者 Ⅱ ，则下一关的难度 依次 是 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的概率分别为 ，若上一关的难度是 Ⅲ ，则下一关的难度 依次 是 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的概率分别为 ，已知第 关的难度为 Ⅰ ． （ 1 ） 求第 关的难度为 Ⅲ 的概率； （ 2 ） 用 表示第 关的难度为 Ⅲ 的概率，求 ； （ 3 ）设 ，记 ，且 对任意 恒成立，求实数 的最大值 ． 19. （ 17 分） 设函数 . （ 1 ）若 ，求函数 图象在 处的切线方程； （ 2 ）若 在 处取得极 小 值，求 的单调区间 ； （ 3 ）若 恰有三个零点，求 的取值范围 .