北京市西城区北京八中2021-2022学年高二（上）期末数学（原卷全解析版）

北京市西城区 北京八中 2 021- 2022 学年 高二（上）期末 数 学 一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 ．（ 5 分）已知 ， ，则直线 的倾斜角为 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 5 分） 展开式中第 3 项的二项式系数为 　　 A ． 6 B ． C ． 24 D ． 3 ．（ 5 分）若直线 与双曲线 相交，则 的取值范围是 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 5 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到 2 个红灯的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 5 分）已知平面 ， 的法向量分别为 ， ， ， ， 3 ， ，则 　　 A ． B ． C ． ， 相交但不垂直 D ． ， 的位置关系不确定 6 ．（ 5 分）甲、乙、丙、丁、戊五人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．（ 5 分）已知长方体 中， ， ，则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 5 分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 两次的点数均为偶数 ， 两次的点数之和为 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．（ 5 分）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．（ 5 分）为迎接第 24 届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共 5 名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排 1 人，每人只能安排到 1 个项目，则所有排法的总数为 　　 A ． 60 B ． 120 C ． 150 D ． 240 11 ．（ 5 分）如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 ，点 为 中点，若直线 与 所成的角为 ，则三棱锥 的体积等于 　　 A ． B ． C ． 2 D ． 12 ．（ 5 分）已知曲线 ，则曲线 上的点到原点距离的最小值是 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 13 ．（ 5 分） 的展开式中，各项系数之和为 1 ，则实数 　　 （用数字填写答案） 14 ．（ 5 分）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为 　　 ． 15 ．（ 5 分）随机变量 的取值为 0 ， 1 ， 2 ，若 ， ，则 　　 ． 16 ．（ 5 分）已知点 和 ，圆 ，当圆 与线段 没有公共点时，则实数 的取值范围为 　　 ． 17 ．（ 5 分）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ， ， ，则下列说法中，正确的有 　　 （请填入所有正确说法的序号） ① 当 时， △ 的周长为定值； ② 当 时，三棱锥 的体积为定值； ③ 当 时，有且仅有一个点 ，使得 ； ④ 当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面 ． 三、解答题共 5 道小题，共 65 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 18 ．（ 10 分）某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语， 2 人只会英语， 3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问． （ 1 ）在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； （ 2 ）在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 的分布列与期望． 19 ．（ 12 分）已知抛物线 的准线方程是 ，直线 与抛物线相交于 、 两点． （ Ⅰ ）求抛物线的方程； （ Ⅱ ）求弦长 ； （ Ⅲ ）设 为坐标原点，证明： ． 20 ．（ 13 分）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次 “6 点 ” 获得 15 分，出现三次 “6 点 ” 获得 120 分，没有出现 “6 点 ” 则扣除 12 分（即获得 分）． （ Ⅰ ）设每盘游戏中出现 “6 点 ” 的次数为 ，求 的分布列； （ Ⅱ ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率； （ Ⅲ ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象． 21 ．（ 15 分）如图，在直角梯形 中， ， ， ．直角梯形 通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，且使得平面 平面 ． 为线段 的中点． 为线段 上的动点． （ Ⅰ ）求证： ； （ Ⅱ ）当点 满足 时，求证：直线 平面 ； （ Ⅲ ）是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，试确定 点的位置；若不存在，请说明理由． 22 ．（ 15 分）如图，已知椭圆 的短轴端点为 、 ，且 ，椭圆 的离心率 ，点 ，过点 的动直线 椭圆 交于不同的两点 、 （与 ， 均不重合），连接 ， ，交于点 ． （ Ⅰ ）求椭圆 的方程； （ Ⅱ ）求证：当直线 绕点 旋转时，点 总在一条定直线上运动； （ Ⅲ ）是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 ．【分析】先求出直线 的斜率，由此能求出直线 的倾斜角． 【解答】解： ， ， 直线 的斜率 ， 直线 的倾斜角为 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查斜率计算公式、直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2 ．