2024届湖南省天壹名校联盟高三上学期9月大联考试题数学试卷(原卷全解析版）

天壹名校联盟· 2024 届高三 9 月大联考 数学 本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ． 已知全集 ，集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 已知向量 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3 ． 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3 4 ． 为研究变量 的相关关系，收集得到下面五个样本点 ： 5 6.5 7 8 8.5 9 8 6 4 3 若由最小二乘法求得 关于 的经验回归方程为 ，则据此计算残差为 0 的样本点是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ．已知 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 6 ．如图，在正方体 中， 分别是棱 和线段 上的动点，则满足与 垂直的直线 （ ） A ．有且仅有 1 条 B ．有且仅有 2 条 C ．有且仅有 3 条 D ．有无数条 7 ．若等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 “ ” 是 “ 成等比数列的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分条件也不必要条件 8 ．已知 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9 ．图①是某市某条公共汽车线路收支差额 y （万元）（门票销售额减去投入的成本费用）关于乘客人数 x （万人）的函数图象，营运初期该条公共汽车线路为亏损状态，为了实现扭亏为盈，公共汽车采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ） 图① 图② 图③ A ．图①中点 A 的实际意义表示该条公共汽车线路投入的成本费用为 1 万元 B ．图①中点 B 的实际意义表示当乘客人数为 1.5 万人时，该条公共汽车线路的收支恰好平衡 C ．图②该条公共汽车线路实行的措施是降低门票的售价 D ．图③该条公共汽 车线路实行的措施是减少投入的成本费用 10 ． 已知 是定义在 上不恒为 0 的奇函数， 是 的导函数，则 （ ） A ． 为奇函数 B ． 为偶函数 C ． 为奇函数 D ． 为偶函数 11 ． 已知数据 成公差大于 0 的等差数列，若去掉数据 ，则 （ ） A ．极差不变 B ．第 25 百分位数变大 C ．平均数不变 D ．方差变小 12 ． 已知函数 ，则下列说法中正确的是 （ ） A ． 的最小正周期为 B ． 的图象关于点 对称 C ．若 在 上单调递增，则 D ．当 时， 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 已知复数 满足 ，则 的值为 __________ ． 14 ． 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要将 共 5 名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱至少要安排 2 人，问天实验舱与梦天实验舱都至少要安排 1 人，则不同的安排方案共有 __________ 种．（用数字作答） 15 ． 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具．如图为一个正四棱台型米斗，高为 ，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为 的球 的球面上，一个底面的中心与球 的球心重合，则该正四棱台的体积为 __________ ． 16 ． 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，经过 的直线交椭圆 于 两点， 为坐标原点，且 ，则椭圆 的离心率为 __________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17 ．（本小题满分 10 分） 在 中，角 的对边分别为 ，且 ． （ 1 ）求 的大小； （ 2 ）若 ，角 的平分线交 于 ，求 的长． 18 ．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 中，四边形 均为正方形， 为 的中点，过点 的平面交 于点 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 19 ．（本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若数列 满足 ，求证： ． 20 ．（本小题满分 12 分） 某中学为了解学生课外玩网络游戏（俗称 “ 网游 ” ）的情况，使调查结果尽量真实可靠，决定在高一年级采取如下 “ 随机回答问题 ” 的方式进行问卷调查：一个袋子中装有 6 个大小相同的小球，其中 2 个黑球， 4 个红球，所有学生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球，约定 “ 若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷 ” 。 方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画 “ √ ” ，否则画 “ × ” ； 方式②：若你课外玩网游，则在问卷中画 “ √ ” ，否则画 “ × ”． 当所有学生完成问卷调查后，统计画 “ √ ” ，画