2022-2023
学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学高二下学期期中数学试题
一、单选题
1
．等比数列
的公比为
q
，前
n
项和为
，设甲：
，乙：
是递增数列，则（
）
A
．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B
．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C
．甲是乙的充要条件
D
．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
B
【分析】
当
时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当
是递增数列时，必有
成立即可说明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为
时，满足
，
但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：
B
．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
2
．已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则实数
的值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
D
【分析】
求出函数的导数和在
处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为
可得答案．
【详解】
，
切线的斜率为
，
因为切线与直线
垂直，所以
，解得
．
故选：
D
．
3
．函数
的导数为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
A
【分析】
利用导数的计算公式，直接判断选项
.
【详解】
.
故选：
A
4
．若过点
可以作曲线
的两条切线，则（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
D
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线
.
【详解】
在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点
.
故选：
D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线
.
由此可知
.
故选：
D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的
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