函数（真题汇编）-2023年全国高考数学真题试题 （原卷全解析版）

函 数（ 高考 真题汇编） 2023 年全国高考数学真题试题全解析版 考试范围：函数；考试时间： 90 分钟；命题人：中学升学考试与预测组 一．选择题（共 8 小题） 1 ．（ 2023• 华侨、港澳、台）若 ，且 x ＞ 0 ，则 x ＝（　　） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 2 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）设函数 f （ x ）＝ 2 x （ x ﹣ a ） 在区间（ 0 ， 1 ）单调递减，则 a 的取值范围是（　　） A ．（﹣ ∞ ，﹣ 2] B ． [ ﹣ 2 ， 0 ） C ．（ 0 ， 2] D ． [2 ， +∞ ） 3 ．（ 2023• 天津）函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的解析式可能为（　　） A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 2023• 上海）下列函数是偶函数的是（　　） A ． y ＝ sin x B ． y ＝ cos x C ． y ＝ x 3 D ． y ＝ 2 x 5 ．（ 2023• 乙卷）已知 f （ x ）＝ 是偶函数，则 a ＝（　　） A ．﹣ 2 B ．﹣ 1 C ． 1 D ． 2 6 ．（ 2023• 北京）下列函数中在区间（ 0 ， +∞ ）上单调递增的是（　　） A ． f （ x ）＝﹣ lnx B ． f （ x ）＝ C ． f （ x ）＝﹣ D ． f （ x ）＝ 3 | x ﹣ 1| 7 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）若 f （ x ）＝（ x + a ） 为偶函数，则 a ＝（　　） A ．﹣ 1 B ． 0 C ． D ． 1 8 ．（ 2023• 乙卷）函数 f （ x ）＝ x 3 + ax +2 存在 3 个零点，则 a 的取值范围是（　　） A ．（﹣ ∞ ，﹣ 2 ） B ．（﹣ ∞ ，﹣ 3 ） C ．（﹣ 4 ，﹣ 1 ） D ．（﹣ 3 ， 0 ） 二．多选题（共 2 小题） （多选） 9 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）已知函数 f （ x ）的定义域为 R ， f （ xy ）＝ y 2 f （ x ） + x 2 f （ y ），则（　　） A ． f （ 0 ）＝ 0 B ． f （ 1 ）＝ 0 C ． f （ x ）是偶函数 D ． x ＝ 0 为 f （ x ）的极小值点 （多选） 10 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 L p ＝ 20× lg ，其中常数 p 0 （ p 0 ＞ 0 ）是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 / m 声压级 / dB 燃油汽车 10 60 ～ 90 混合动力汽车 10 50 ～ 60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 p 1 ， p 2 ， p 3 ，则（　　） A ． p 1 ≥ p 2 B ． p 2 ＞ 10 p 3 C ． p 3 ＝ 100 p 0 D ． p 1 ≤100 p 2 三．填空题（共 9 小题） 11 ．（ 2023• 甲卷）若 f （ x ）＝（ x ﹣ 1 ） 2 + ax +sin （ x + ）为偶函数，则 a ＝ 　 　 ． 12 ．（ 2023• 甲卷）若 y ＝（ x ﹣ 1 ） 2 + ax +sin （ x + ）为偶函数，则 a ＝ 　 　 ． 13 ．（ 2023• 华侨、港澳、台） f （ x ）为 R 上奇函数， f （ x +4 ）＝ f （ x ）， f （ 1 ） + f （ 2 ） + f （ 3 ） + f （ 4 ） + f （ 5 ）＝ 6 ， f （﹣ 3 ）＝ 　 　 ． 14 ．（ 2023• 上海）已知函数 f （ x ）＝ 2 ﹣ x +1 ，且 g （ x ）＝ ，则方程 g （ x ）＝ 2 的解为 　 　 ． 15 ．（ 2023• 北京）已知函数 f （ x ）＝ 4 x +log 2 x ，则 f （ ）＝ 　 　 ． 16 ．（ 2023• 上海）已知函数 f （ x ）＝ ，则函数 f （ x ）的值域为 　 　 ． 17 ．（ 2023• 华侨、港澳、台）已知函数 f （ x ）＝ 2 x +2 ﹣ x ，则 f （ x ）在区间 的最大值为 　 　 ． 18 ．（ 2023• 北京）设 a ＞ 0 ，函数 f （ x ）＝ 给出下列四个结论，正确的序号为 　 　 ． ① f （ x ）在区间（ a ﹣ 1 ， +∞ ）上单调递减； ② 当 a ≥1 时， f （ x ）存在最大值； ③ 设 M （ x 1 ， f （ x 1 ））（ x 1 ≤ a ）， N （ x 2 ， f （ x 2 ））（ x 2 ＞ a ），则 | MN | ＞ 1 ； ④ 设 P （ x 3 ， f （ x 3 ））（ x 3 ＜﹣ a ）， Q （ x 4 ， f （ x 4 ））（ x 4 ≥ ﹣ a ），若 | PQ | 存在最小值，则 a 的取值范围是（ 0 ， ] ． 19 ．（ 2023• 天津）若函数 f （ x ）＝ ax 2 ﹣ 2 x ﹣ | x 2 ﹣ ax +1| 有且仅有两个零点，则 a 的取值范围为 　 　 ． 四．解答题（共 2 小题） 20 ．（ 2023• 上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的 “ 体形系数 ” S ＝ ，其中 F 0 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米）， V 0 为建筑物的体积（单位：立方米）． （ 1 ）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R ，高度为 H ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的 “ 体形系数 ” S ；（结果用含 R 、 H 的代数式表示） （ 2 ）定义建筑物的 “ 形状因子 ” 为 f ＝ ，其中 A 为建筑物底面面积， L 为建筑物底面周长，又定义 T 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 n 为某宿舍楼的层数，层高为 3 米，则可以推导出该宿舍楼的 “ 体形系数 ” 为 S ＝ + ．当 f ＝ 18 ， T ＝ 10000 时，试求当该宿舍楼的层数 n 为多少时， “ 体形系数 ” S 最小． 21 ．（ 2023• 上海）已知 a ， c ∈ R ，函数 f （ x ）＝ ． （ 1 ）若 a ＝ 0 ，求函数的