等比数列（高考真题汇编）2022--2023年全国高考数学试题（原卷全解析版）

等比数列（高考真题汇编） 2022-2023 年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 7 小题） 1 ．（ 2022• 华侨、港澳、台）设等比数列 { a n } 的首项为 1 ，公比为 q ，前 n 项和为 S n ．令 b n ＝ S n +2 ，若 { b n } 也是等比数列，则 q ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2023• 天津）已知 { a n } 为等比数列， S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， a n +1 ＝ 2 S n +2 ，则 a 4 的值为（　　） A ． 3 B ． 18 C ． 54 D ． 152 3 ．（ 2022• 乙卷）已知等比数列 { a n } 的前 3 项和为 168 ， a 2 ﹣ a 5 ＝ 42 ，则 a 6 ＝（　　） A ． 14 B ． 12 C ． 6 D ． 3 4 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 4 ＝﹣ 5 ， S 6 ＝ 21 S 2 ，则 S 8 ＝（　　） A ． 120 B ． 85 C ．﹣ 85 D ．﹣ 120 5 ．（ 2023• 北京）数列 { a n } 满足 a n +1 ＝ （ a n ﹣ 6 ） 3 +6 ，下列说法正确的是（　　） A ．若 a 1 ＝ 3 ，则 { a n } 是递减数列， ∃ M ∈ R ，使得 n ＞ m 时， a n ＞ M B ．若 a 1 ＝ 5 ，则 { a n } 是递增数列， ∃ M ≤6 ，使得 n ＞ m 时， a n ＜ M C ．若 a 1 ＝ 7 ，则 { a n } 是递减数列， ∃ M ＞ 6 ，使得 n ＞ m 时， a n ＞ M D ．若 a 1 ＝ 9 ，则 { a n } 是递增数列， ∃ M ∈ R ，使得 n ＞ m 时， a n ＜ M 6 ．（ 2023• 甲卷）已知正项等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， S n 为 { a n } 前 n 项和， S 5 ＝ 5 S 3 ﹣ 4 ，则 S 4 ＝（　　） A ． 7 B ． 9 C ． 15 D ． 30 7 ．（ 2023• 上海）已知无穷数列 { a n } 的各项均为实数， S n 为其前 n 项和，若对任意正整数 k ＞ 2022 都有 | S k | ＞ | S k +1 | ，则下列各项中可能成立的是（　　） A ． a 1 ， a 3 ， a 5 ， ⋯ ， a 2 n ﹣ 1 ， ⋯ 为等差数到， a 2 ， a 4 ， a 6 ， ⋯ ， a 2 n ， ⋯ 为等比数列 B ． a 1 ， a 3 ， a 5 ， ⋯ ， a 2 n ﹣ 1 ， ⋯ 为等比数列， a 2 ， a 4 ， a 6 ， ⋯ ， a 2 n ， ⋯ 为等差数列 C ． a 1 ， a 2 ， a 3 ， ⋯ ， a 2022 为等差数列， a 2022 ， a 2023 ， ⋯ ， a n ， ⋯ 为等比数列 D ． a 1 ， a 2 ， a 3 ， ⋯ ， a 2022 为等比数列， a 2022 ， a 2023 ， ⋯ ， a n ， ⋯ 为等差数列 二．填空题（共 4 小题） 8 ．（ 2023• 甲卷）记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和．若 8 S 6 ＝ 7 S 3 ，则 { a n } 的公比为 　 　 ． 9 ．（ 2023• 上海）已知首项为 3 ，公比为 2 的等比数列，设等比数列的前 n 项和为 S n ，则 S 6 ＝ 　 　 ． 10 ．（ 2023• 乙卷）已知 { a n } 为等比数列， a 2 a 4 a 5 ＝ a 3 a 6 ， a 9 a 10 ＝﹣ 8 ，则 a 7 ＝ 　 　 ． 11 ．（ 2023• 北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的 “ 环权 ” ．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 { a n } ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列，且 a 1 ＝ 1 ， a 5 ＝ 12 ， a 9 ＝ 192 ，则 a 7 ＝ 　 　 ，数列 { a n } 的所有项的和为 　 　 ． 三．解答题（共 10 小题） 12 ．（ 2022• 华侨、港澳、台）设 { a n } 是首项为 1 ，公差不为 0 的等差数列，且 a 1 ， a 2 ， a 6 成等比数列． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）令 b n ＝（﹣ 1 ） n a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ． 13 ．（ 2023• 华侨、港澳、台）已知 { a n } 为等比数列，其前 n 项和为 S n ， S 3 ＝ 21 ， S 6 ＝ 189 ． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）若 ，求 { b n } 的前 n 项和 T n ． 14 ．（ 2022• 上海）已知在数列 { a n } 中， a 2 ＝ 1 ，其前 n 项和为 S n ． （ 1 ）若 { a n } 是等比数列， S 2 ＝ 3 ，求 S n ； （ 2 ）若 { a n } 是等差数列， S 2 n ≥ n ，求其公差 d 的取值范围． 15 ．（ 2023• 甲卷）已知数列 { a n } 中， a 2 ＝ 1 ，设 S n 为 { a n } 前 n 项和， 2 S n ＝ na n ． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）求数列 的前 n 项和 T n ． 16 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知 { a n } 为等差数列， b n ＝ ，记 S n ， T n 为 { a n } ， { b n } 的前 n 项和， S 4 ＝ 32 ， T 3 ＝ 16 ． （ 1 ）求 { a n } 的通项公式； （ 2 ）证明：当 n ＞ 5 时， T n ＞ S n ． 17 ．（ 2022• 甲卷）记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和．已知 + n ＝ 2 a n +1 ． （ 1 ）证明： { a n } 是等差数列； （ 2 ）若 a 4 ， a 7 ， a 9 成等比数列，求 S n 的最小值． 18 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）已知 { a n } 是等差数列， { b n } 是公比为 2 的等比数列，且 a 2 ﹣ b 2 ＝ a 3 ﹣ b 3 ＝ b 4 ﹣ a 4 ． （ 1 ）证明： a 1 ＝ b 1 ； （ 2 ）求集合 { k | b k ＝ a m + a 1 ， 1≤ m ≤500} 中元素的个数． 19 ．（ 2022• 浙江）已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ＝﹣ 1 ，公差 d ＞ 1 ．记 { a n } 的前 n 项和为