2023-2024学年江西省萍乡市中学高二上学期期末考试数学试题(原卷解析版）

秘密★启用前 萍乡市 2023—2024 学年度第一学期期末考试 高二数学 本试卷分 第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分 . 第 Ⅰ 卷 1 至 2 页， 第 Ⅱ 卷 3 至 4 页 . 满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “ 准考证号、姓名、考试科目 ” 与考生本人的准考证号、姓名是否一致 . 2. 回答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 . 回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 . 若在试题卷上作答，答题无效 . 3. 考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回 . 第 Ⅰ 卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 根据下表数据，通过最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为： ，则 （ ） 1 2 3 4 0.6 0.8 1.1 1.5 A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.1 2. 已知 ， ， 是空间中两两垂直的单位向量，则 （ ） A. B.14 C. D.2 3. 焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，则 的值为（ ） A. B.2 C. D. 4. 某一地区患有癌症的人占 0.05 ，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.9 ，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.05. 现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 有 7 种不同的颜色给下图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用 3 种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ） A.462 B.630 C.672 D.882 6. 加斯帕 尔 · 蒙 日是 18 ～ 19 世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为 “ 蒙日圆 ” （如图） . 已知椭圆 ： ， 是直线 ： 上一点，过 作 的两条切线，切点分别为 、 ，连接 （ 是坐标原点），当 为直角时，直线 的斜率 （ ） A. B. C. D. 7. 以等腰直角三角形斜边 上的高 为折痕，把 和 折成 60° 的二面角 . 若 ， ，其中 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线 ： （ ）的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 相交于 ， 两点，且满足 ， 在 上的射影为 ，若 的面积为 ，则 的长为（ ） A. B. C. D.9 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量 ，则 B. 若随机事件 ， 满足： ， ， ，则事件 与 相互独立 C. 若事件 与 相互独立，且 ，则 D. 若残差平方和越大，则回归模型对一组数据 ， ， … ， 的拟合效果越好 10. 曲线 ： ，直线 ： 与 ： ，下列结论 错误 的是（ ） A. 曲线 的图象一定关于 对称 B. 当 时， 与 间的距离为 C. 当 时， D. 若 与曲线 有 2 个交点，则 的取值范围是 11. 如图，正方体 边长为 1 ， 是线段 的中点， 是线段 上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥 的体积为定值 C. 直线 与平面 所成角的正弦值为 D. 直线 与直线 所成角的余弦值的取值范围为 12. 双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，两条渐近线分别为 ， ，过坐标原点的直线与 的左右两支分别交于 ， 两点， 为 上异于 ， 的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若以 为直径的圆经过 ，则 B. 若 ，则 或 9 C. 过点 作 的垂线，垂足为 ，若 （ ） ，则 D. 设 ， 的斜率分别为 ， ，则 的最小值为 2 第 Ⅱ 卷 注意事项： 第 Ⅱ 卷共 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答 . 若在试题卷上作答，答题无效 . 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知过点 的直线 在 轴上的截距是其在 轴上截距的 3 倍，则满足条件的一条直线 的方程为 _ _____. 14. 将 6 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 _ _____ 种 . （用数字作答） 15. 若随机变量 ，且 ，则 展开式中 项的系数是 _ _____. 16. 盒中装有 5 个大小、质地相同的小球，其中 3 个白球和 2 个黑球 . 两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏， 或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束 . 设游戏结束时两位同学摸球的总次数为 ，则 _ _____. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. （本小题满分 10 分） 已知圆 是 的外接圆，圆心为 ，顶点 ， ，且 _ _____. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答 . ① 顶点 ； ② ； ③ . （ 1 ）求圆 的标准方程； （ 2 ）若点 为直线 ： 上一动点，过点 作圆 的切线，切点为 ，求 的最小值 . 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， . （ 1 ）证明