重庆市巴蜀中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷全解析版）

高 2025 届高二（上）期中考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 在试卷上作答无效 . 3. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存 . 满分 150 分，考试用时 120 分钟 . 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 椭圆 ： 的左右焦点分别是 ， ， P 在椭圆 上，且 ，则 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 直线 平分圆 C ： ，则 （ ） A. B. 1 C. -1 D. -3 3. 双曲线 ： 的一条渐近线方程是 ，则 E 的离心率是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 4. 正方体 中， M ， N 分别是 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，圆 ，动圆 经过 点且与圆 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是（ ） A B. C. D. 6. 已知三棱锥 ， E ， F 分别是 ， 的中点， G 在 上且满足： ，过 E ， F ， G 三点的平面与 相交于点 H ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知抛物线 C ： 上一点 ，点 ，则 的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8. 已知椭圆 ： ， A ， B 是左右顶点， P ， Q 在椭圆 E 上，满足 ，则直线 恒过定点（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 直线 ： ，圆 ： ， P 是圆 M 上的动点，则（ ） A. 过 且与直线 垂直的直线方程为 B. 直线 与圆 相交 C. 点 P 到直线 的距离最大值是 5 D. 点 P 到直线 的距离最小值是 1 10. 椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， O 是坐标原点， 是椭圆 E 上一点，则（ ） A. 的周长是 B. 当 时， 面积最大 C. 的最大值是 5 D. 当 时， 面积为 1 11. 设 是坐标原点，直线 经过抛物线 C ： 的焦点 F ，且与 C 交于 A ， B 西点， 是以 为底边的等腰三角形， 是抛物线 C 的准线，则（ ） A. 以 直径的圆与准线 相切 B. C. D. 面积是 12. 如图，四棱柱 底面 是边长为 2 的 正方形，侧棱 底面 ，且 ， P 是线段 上一点（包含端点）， Q 在四边形 内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱柱能装下球的最大半径是 1 B. 点 到直线 的距离最小值是 C. 若 为 中点，且 ，则 Q 的轨迹长度为 D. 的最小值是 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 倾斜角为 且经过点 的直线方程是 ___________. 14. 圆 ： 与圆 ： 的公共弦长是 ___________ 15. 已知三棱锥 中， 平面 ，且 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则三棱锥 的体积最大值是 _________ . 16. 双曲线 E ： ，过 作直线 l 交双曲线于 A ， B 两点，若不存在直线 l 使得 P 是线段 的中点，则 t 的取值范围是 _________________ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知直线 过定点 P ，圆 C 经过 P 点且与 x 轴和 y 轴正半轴都相切 . （ 1 ） 求定点 P 坐标； （ 2 ） 求圆 C 的方程 . 18. 如图正方体 的棱长为 2 ， E 是棱 的中点，过 的平面与棱 相交于点 F . （ 1 ） 求证： F 是 的中点； （ 2 ） 求点 D 到平面 的距离 . 19. 已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， 到其中一条渐近线的距离为 1 ，过 且垂直于 轴的直线交双曲线于 A ， B ，且 . （ 1 ） 求 E 的方程； （ 2 ） 过 的直线 交曲线 E 于 M ， N 两点若 ，求直线 的方程 20. 如图， A ， C 在以 为直径的球上， ， M 是 的中点 . （ 1 ） 求证：平面 平面 ； （ 2 ） 若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值 . 21. 已知抛物线 C ： 与椭圆 有公共 焦点 . （ 1 ） 求抛物线 C 的方程； （ 2 ） 过 的直线 交抛物线 C 于 A ， B 两点，试问在抛物线 C 上是否存在定点 P ，使得直线 ， 的斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为 1 ，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 . 22. 已知椭圆 ： 的焦点分别为 ， ，过左焦点 的直线与椭圆交于 M ， N 两点， 的周长为 . （ 1 ） 求椭圆 E 离心率； （ 2 ） 直线 ： 与椭圆有两个不同的交点 A ， B ，直线 与 x 轴的交点为 D ，若 A ， B 都在 x 轴上方且点 A 在线段 上， O 为坐标原点， 和 面积分别为 ， ，记 ，当满足条件的实数 变化时， 的取值范围是 ，求椭圆 E 的方程 . 高 2025 届高二（上）期中考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 在试卷上作答无效 . 3. 考试结束后，请将答