浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 （原卷全解析版）

2022 学年第二学期环大罗山联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1 ．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2 ．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3 ．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4 ．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．） 1. 复数 的虚部为（ ） A. － 3 B. 3 C. 2 D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 设 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在半径为 9 的圆中， 的圆心角所对弧长为（ ） A 900 B. C. D. 5. 把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　） A. B. C. D. 6. 若 为 的边 BC 的中点，则 （ ） A. B. C D. 7. 如图，已知直角梯形 ABCD ， ， ， ， P 是斜腰 BC 边（含端点）上的动点， 的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 小李同学到如图所示的一个影视厅观看电影，由于看电影的观众比较多，占去了观影区的其它位置，只剩下 01-10 座，共 10 个座位．电影院的平面图数据如图所 示，使小李同学观影视角最好（水平方向视角，即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大）的座位是（ ） A. 01 座 B. 02 座 C. 03 座 D. 10 座 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．） 9. 若向量 ， ，下列结论正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 时， C. 与 垂直的单位向量有两个 D. 时， 在 上的投影向量为 10. 已知复数 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C D. 11. 关于函数 ，其中 ，下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则对 ，若满足 ，则必有 成立； B. 若 ， 在区间 上单调递减； C. 若 ，函数 的图象关于点 成中心对称； D. 将函数 的图象向右平移 个单位后与 的图象重合，则 有最小值 1 ． 12. 阳马和鳖臑［ biē nào ］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图 2 ，图 3 ），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图 4 ），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图 5 ）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图 6 ）．若图 1 中的长方体是棱长为 4 的正方体，则下列结论正确的是（ ） A. 鳖臑中只有一个面不是直角三角形 B. 鳖臑的外接球半径为 C. 鳖臑的体积为正方体的 D. 鳖臑内切球半径为 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13. 若复数 在复平面内的对应点关于实轴对称，且 ，则 __________ . 14. 若一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则这个圆锥的侧面积与表面积之比为 _____ ． 15 已知 ，则 ______ ． 16. 水平放置的圆柱形容器底半径为 3cm ，高 15cm ，已知该容器中装有高度为 h cm 的水 . 实验时甲同学先把一个棱长为 3cm 的玻璃立方体放进了容器里，然后乙同学逐个缓慢放入两个半径为 3cm 的实心玻璃球，使两个球都浸没在容器的水中 . 若第一只球放入的过程中水没溢出，第 2 只球放入的过程中有水溢出容器，则高度 h 的取值范围为 ______ ． 四、解答题（本題共 6 小題，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，否则酌情扣分．） 17. 已知复数 （ ， i 为虚数单位）． （ 1 ） 若 为纯虚数，求实数 a 值； （ 2 ） 若 ，且复数 所对应的点位于第四象限，求 a 的取值范围． 18. 如图，已知 中， ， D 是边 BC 上一点，且 ． （ 1 ） 设 ， ，试用 ， 表示 ． （ 2 ） 若 ，求 的大小． 19. 如图，某公园摩天轮的半径为 ，圆心距地面的高度为 ，摩天轮做匀速转动，每 转一圈，摩天轮上的点 的起始位置在最低点处． （ 1 ） 已知在时刻 （单位： ）时点 P 距离地面的高度 （其中 ， ， ），求函数 解析式及 时点 P 距离地面的高度； （ 2 ） 当点 P 距离地面 及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩 ，则游客在游玩过程中共有多少时间可 以看到公园的全貌？ 20. 在 中，角 的对边分别是 ，若 ， ． （ 1 ） 证明： 是正三角形． （ 2 ） 若 的三顶点都在球 O 表面，且球 O 的表面积为 ，求三棱锥 的体积． 21. 已知 的角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， ， ，满足 ． （ 1 ） 求 A ； （ 2 ） 若 的面积为 ，且 ，点 D 为边 BC 的中点，求 AD 的长． 22. 已知函数 ， ． （ 1 ） 指出 单调性与 的奇偶性，并用定义证明 的奇偶性． （ 2 ） 是否存在实数 使不等式 对 恒成立，若存在求出 的范围，若不存在，请说明理由． 2022 学年第二学期环大罗山联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1 ．本卷共 4 页满分 150 分，考试时