空间向量与立体几何（高考真题汇编） -2023年全国高考数学试题 （原卷全解析版）

空间向量与立体几何（高考真题汇编） 2023年全国高考数学试题 全解析版 一．选择题（共 2 小题） 1 ．（ 2023• 乙卷）已知 △ ABC 为等腰直角三角形， AB 为斜边， △ ABD 为等边三角形，若二面角 C ﹣ AB ﹣ D 为 150° ，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（　　） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2023• 北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体 ABCDEF ，四边形 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形， △ ADE 和 △ BCF 是全等的等腰三角形．若 AB ＝ 25 m ， BC ＝ AD ＝ 10 m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（　　） A ． 102 m B ． 112 m C ． 117 m D ． 125 m 二．多选题（共 1 小题） （多选） 3 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ， AB 为底面直径， ∠ APB ＝ 120° ， PA ＝ 2 ，点 C 在底面圆周上，且二面角 P ﹣ AC ﹣ O 为 45° ，则（　　） A ．该圆锥的体积为 π B ．该圆锥的侧面积为 4 π C ． AC ＝ 2 D ． △ PAC 的面积为 三．填空题（共 1 小题） 4 ．（ 2023• 乙卷）已知点 S ， A ， B ， C 均在半径为 2 的球面上， △ ABC 是边长为 3 的等边三角形， SA ⊥ 平面 ABC ，则 SA ＝ 　 　 ． 四．解答题（共 9 小题） 5 ．（ 2023• 北京）如图，四面体 P ﹣ ABC 中， PA ＝ AB ＝ BC ＝ 1 ， PC ＝ ， PA ⊥ 平面 ABC ． （Ⅰ）求证： BC ⊥ 平面 PAB ； （Ⅱ）求二面角 A ﹣ PC ﹣ B 的大小． 6 ．（ 2023• 上海）已知直四棱柱 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 ， AB ⊥ AD ， AB ∥ CD ， AB ＝ 2 ， AD ＝ 3 ， CD ＝ 4 ． （ 1 ）证明：直线 A 1 B ∥ 平面 DCC 1 D 1 ； （ 2 ）若该四棱柱的体积为 36 ，求二面角 A 1 ﹣ BD ﹣ A 的大小． 7 ．（ 2023• 甲卷）如图，在三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 中， A 1 C ⊥ 平面 ABC ， ∠ ACB ＝ 90° ． （ 1 ）证明：平面 ACC 1 A 1 ⊥ 平面 BB 1 C 1 C ； （ 2 ）设 AB ＝ A 1 B ， AA 1 ＝ 2 ，求四棱锥 A 1 ﹣ BB 1 C 1 C 的高． 8 ．（ 2023• 甲卷）在三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ＝ 2 ， A 1 C ⊥ 底面 ABC ， ∠ ACB ＝ 90° ， A 1 到平面 BCC 1 B 1 的距离为 1 ． （ 1 ）求证： AC ＝ A 1 C ； （ 2 ）若直线 AA 1 与 BB 1 距离为 2 ，求 AB 1 与平面 BCC 1 B 1 所成角的正弦值． 9 ．（ 2023• 天津）在三棱台 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 中，若 A 1 A ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ AA 1 ＝ 2 ， A 1 C 1 ＝ 1 ， M ， N 分别为 BC ， AB 中点． （Ⅰ）求证： A 1 N ∥ 平面 C 1 MA ； （Ⅱ）求平面 C 1 MA 与平面 ACC 1 A 1 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点 C 到平面 C 1 MA 的距离． 10 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 2 ， AA 1 ＝ 4 ．点 A 2 ， B 2 ， C 2 ， D 2 分别在棱 AA 1 ， BB 1 ， CC 1 ， DD 1 上， AA 2 ＝ 1 ， BB 2 ＝ DD 2 ＝ 2 ， CC 2 ＝ 3 ． （ 1 ）证明： B 2 C 2 ∥ A 2 D 2 ； （ 2 ）点 P 在棱 BB 1 上，当二面角 P ﹣ A 2 C 2 ﹣ D 2 为 150° 时，求 B 2 P ． 11 ．（ 2023• 上海）已知三棱锥 P ﹣ ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝ AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， M 为 BC 中点，过点 M 分别作平行于平面 PAB 的直线交 AC 、 PC 于点 E ， F ． （ 1 ）求直线 PM 与平面 ABC 所成角的大小； （ 2 ）求直线 ME 到平面 PAB 的距离． 12 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）如图，三棱锥 A ﹣ BCD 中， DA ＝ DB ＝ DC ， BD ⊥ CD ， ∠ ADB ＝ ∠ ADC ＝ 60° ， E 为 BC 中点． （ 1 ）证明 BC ⊥ DA ； （ 2 ）点 F 满足 ，求二面角 D ﹣ AB ﹣ F 的正弦值． 13 ．（ 2023• 乙卷）如图，在三棱锥 P ﹣ ABC 中， AB ⊥ BC ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 2 ， PB ＝ PC ＝ ， AD ＝ DO ， BP ， AP ， BC 的中点分别为 D ， E ， O ，点 F 在 AC 上， BF ⊥ AO ． （ 1 ）证明： EF ∥ 平面 ADO ； （ 2 ）证明：平面 ADO ⊥ 平面 BEF ； （ 3 ）求二面角 D ﹣ AO ﹣ C 的正弦值． 空间向量与立体几何（高考真题汇编） 2023 年全国高考数学试题 全解析版 参考答案与试题解析 一．选择题（共 2 小题） 1 ．（ 2023• 乙卷）已知 △ ABC 为等腰直角三角形， AB 为斜边， △ ABD 为等边三角形，若二面角 C ﹣ AB ﹣ D 为 150° ，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为（　　） A ． B ． C ． D ． 【答案】 C 【解答】解：如图，取 AB 的中点 E ，连接 CE ， DE ， 则根据题意易得 AB ⊥ CE ， AB ⊥ DE ， ∴ 二面角 C ﹣ AB ﹣ D 的平面角为 ∠ CED ＝ 150° ， ∵ AB ⊥ CE ， AB ⊥ DE ，且 CE ∩ DE ＝ E ， ∴ AB ⊥ 平面 CED ，又 AB ⊂ 平面 ABC ， ∴ 平面 CED ⊥ 平面 ABC ， ∴ CD 在平面 ABC 内的射影为 CE ， ∴ 直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ∠ DCE ， 过 D 作 DH 垂直 CE 所在直线，垂足点为 H ，