2023-2024
学年湖南省“十校联盟”高一上学期其中模拟考试
数学试题
学校:
___________
姓名:
___________
班级:
___________
考号:
___________
一、选择题
1
.如果复数
是纯虚数
,
,i
是虚数单位
,
则
( )
A.
且
B.
C.
D.
或
2
.在复平面内,
O
为坐标原点,向量
对应的复数为
,若点
A
关于直线
的对称点为点
B
,则向量
对应的复数为
( )
A.
B.
C.
D.
3
.已知复数
z
在复平面内对应的点为
,则
( )
A.
z
的虚部为
B.
C.
D.
的虚部为
1
4
.若复数
为纯虚数,则
( )
A.1
B.-1
C.5
D.-5
5
.在下列结论中,正确结论的个数是
( )
①两个复数不能比较大小;
②若
和
都是虚数,且它们的虚部相等,则
;
③若
a
,
b
是两个相等的实数,则
必为纯虚数
.
A.0
B.1
C.2
D.3
6
.已知复数
z
的虚部为
,
在复平面内复数
z
对应向量的模长为
2,
则
( )
A.
B.
C.
D.
7
.在复数范围内(
i
为虚数单位),下列命题中假命题的个数是
( )
①
;
②若
,则
;
③若复数
,
,
,
在复平面内对应的向量分别为
,
(
O
为坐标原点),则
④若
,则
.
A.1
B.2
C.3
D.4
8
.如果复数
是纯虚数,则实数
m
的值为
(
)
A.0
B.2
C.0
或
3
D.2
或
3
二、多项选择题
9
.关于复数,下列说法错误的是
( )
A.
若
,则
或
B.
复数
与
在复平面内分别对应向量
与
,则向量
对应的复数为
C.
若
z
是复数,则
D.
若复数
z
满足
,则复数
z
在复平面内对应的点所构成的图形面积为
10
.已知
,
为复数,则下列说法不正确的是
( )
A.
若
,则
B.
若
,则
C.
若
,则
D.
若
,则
三、填空题
11
.复数
在复平面内对应的点到原点的距离是
_
__________.
12
.若
a
,
,i
是虚数单位
,
,
则
等于
___________
.
13
.若复数
,则
________.
四、解答题
14
.已知复数
.
(1)
若
z
是纯虚数
,
求
a
的值
;
(2)
若
是方程
的一个根
,
求
z
的虚部
.
15
.四边形
ABCD
为复平面内的平行四边形,
O
为坐标原点,向量
对应的复数为
5
,
对应的复数为
,
对应的复数为
.
(
1
)求点
D
对应的复数;
(
2
)判断
A
,
B
,
C
,
D
四点是否在同一个圆上,并证明你的结论
.
参考答案
1
.答案:
C
解析:由复数
是纯虚数
,
得
,
解得
.
故选:
C.
2
.答案:
B
解析:因为复数
对应的点为
,点
A
关于直线
的对称点为
,所以
对应的复数为
.
3
.答案:
D
解析:因为复数
z
在复平面内对应的点为
,所以
.
复数
z
的虚部为
-1
,故
A
错误;
,故
B
错误;
,故
C
错误;
,
的虚部为
1
,故
D
正确
.
故选
D.
4
.答案:
B
解析:
复数
为纯虚数,
,则
.
故选:
B.
5
.答案:
A
解析:对于①,两个复数,当它们都是实数时,是可以比较大小的,故①错误
.
对于②,设
(
,且
),
(
,且
),因为
,
所以
.
当
时,
当
时,
,故②错误,对于③,当
时,
是纯虚数;当
时,
是实数,故③错误,故选
A.
6
.答案:
B
解析
:
复数
z
的虚部为
,
可令
又在复平面内复数
z
对应向量的模长为
2,
则
,
解之得
,
则
故选
:B
7
.答案:
C
解析:对于①,虚数不能比较大小,所以①为假命题;对于②,因为
,例如
,
,此时
,所以②为假命题;对于③,由复数
,
,可得
,
,可得
,
在复平面内对应的向量分别为
,
,所以
,则
,所以③为假命题;对于④,设
,由
,可得
,可得
,所以
,所以④为真命题
.
故选
C.
8
.答案:
A
解析:
因为复数
是纯虚数
,
所以
且
,
解得
.
故本题正确答案为
A
.
9
.答案:
ABC
解析:对于
A
,取
,则
,故
A
错误;对于
B
,
,
,则
,对应的复数为
,故
B
错误;对于
C
,取
,则
,
,故
C
错误;对于
D
,设复数
,则由
可知
,故复数
z
在复平面内对应的点所构成的图形面积为而
,故
D
正确
.
故选
ABC.
10
.答案:
BCD
解析:因为当两个复数相等时,模一定相等,所以
A
项正确;当两个复数不相等时,它们的模有可能相等,比如
,但
,所以
B
项不正确;若
,则
,
为实数,当
,
时,满足
,但
,故
C
项
不正确;因为两个虚数之间只有等与不等,不能比较大小,所以
D
项不正确
.
故选
BCD.
11
.答案:
2
解析:复数
在复平面内对应的点的坐标为
,所以复数
在复平面内对应的点到原点的距离是
.
12
.答案:
解析:因为
a
,
且
,
所以
,
解得
,
,
所以
.
故答案为:
.
13
.答案:
解析:
由题设
,则
,
故答案为:
.
14
.答案:
(1)
(2)-7
解析
:
(
1
)由已知可得
,
解得
.
(
2
)由
可得
,
解得
,
若
,
可得
,
无解
;
若
,
可得
,
解得
.
综上所述
,
,
则
,
所以
,
复数
z
的虚部为
-7.
15
.答案:(
1
)
(
2
)
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆,证明见解析
解析:(
1
)由题意知,
,
,
.
,且
,
,
,则点
D
对应的复数为
.
(
2
)
A
,
B
,
C
,
D
四点在同一个圆上,证明如下:由(
1
)可知,
,
则
,即
.
平行四边形
ABCD
为矩形,
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆
.
2023-2024学年湖南省“十校联盟”高一上学期期中模拟考试数学试题(全解析版)