湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 （原卷全解析版）

长阳一中 2023-2024 学年高二上学期九月月考数学试题 （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了 10 株，测量数据如下（单位 cm ）： 60 ， 61 ， 62 ， 63 ， 65 ， 65 ， 66 ， 67 ， 69 ， 70 ，则第 40 百分位数是（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 3. 在正三棱柱 中， ， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 4. 某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为 5 的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，若 是纯虚数，则 （ ） A. 1 B. - 1 C. D. 6. 已知直线 和平面 满足 ，下列命题： ① ∥ ； ② ∥ ； ③ ∥ ； ④ ∥ 正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 7. 若圆锥的底面半径为 ，高为 1 ，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在 中， ，边 上一点 满足 ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 若 ， 是关于 的方程 的两个虚根，则（ ） A. B. C. D. 10. 某学校高一年级学生有 900 人，其中男生 500 人，女生 400 人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为 180 的样本，经计算得男生样本的均值为 170 ，方差为 19 ，女生样本的均值为 161 ，方差为 28 ，则下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本容量为 100 B. 抽取的样本的方差为 43 C. 抽取的样本的均值为 166 D. 抽取的样本的均值为 165.5 11. 在 中，若 ，下列结论中正确的有（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的 2 倍 D. 若 ，则 外接圆的半径为 12. 在长方体 中， AB ＝ 3 ， ， P 是线段 上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面 所成角的正切值的最 大值是 C. 的最小值为 D. 以 A 为球心， 5 为半径的球面与侧面 的交线长是 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 若 ， ，则 在 上 投影向量的坐标为 ______ . 14. 化简： ___________ . 15. 如图，由 到 的电路中有 4 个元件，分别为 ， ， ， ，若 ， ， ， 能正 常工作的概率都是 ，记 “ 到 的电路是通路 ” ，求 ______ . 16. 已知正四棱锥 底面边长为 ，侧棱长为 2 ，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为 ______ ；该正四棱锥的外接球的体积为 ______ . 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知函数 . （ 1 ） 求 的最小正周期 ; （ 2 ） 若 ，求出 的单调递减区间 . 18. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准 x （单位： t ），月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出的部分按议价收费 . 为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得 100 位居民某年的月平均用水量（单位： t ），将数据按照 ， ， … ， ，分成 组，制成了如图所示的频 率分布直方图 . （ 1 ） 求频率分布直方图中 的值； （ 2 ） 已知该市有 80 万居民，请估计全市居民中月平均用水量不低于 的人数； （ 3 ） 若该市政府希望使 85% 的居民每月的用水量不超过 x t ，估计 x 的值，并说明理由 . 19. 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 ， ， ． （ 1 ） 求 A 、 b ； （ 2 ） 设 D 为 BC 边上一点，且 ，求 的面积． 20. 如图，在正四棱柱 中， ， ，点 ， ， ， 分别在棱 ， ， ， 上， ， ， . （ 1 ） 证明： ； （ 2 ） 求 到平面 的距离； （ 3 ） 点 在棱 上，当二面角 为 时，求 . 21. 某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从 A 类的 5 个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得 20 分，否则得 0 分；第二轮从 B 类的 4 个问题中任选两题依次作答，每答对一题得 20 分，答错得 0 分 . 若两轮总得分不低于 40 分，则晋级复赛 . 甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为 0.6 ，在 A 类的 5 个问题中，乙只能答对 4 个问题，在 B 类的 4 个问题中，乙答对的概率都为 0.4 ，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响 . （ 1 ） 求乙在第一轮比赛中得 20 分的概率； （ 2 ） 以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛 ? 22. 如图 1 ，四边形 是梯形， ， ， 是 的中点，将 沿 折起至 ，如图 2 ，点 在线段 上 . （ 1 ） 若 是 的中点，求证：平面 平面 ； （ 2 ） 若 ，平面 与平面 夹角的余