2023-2024学年北京市海淀区九年级上学期期末数学试卷

2023-2024 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1 ．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（　　） A ． B ． C ． D ． 2 ．抛物线 y ＝﹣（ x ﹣ 1 ） 2 +2 的顶点坐标是（　　） A ．（ 1 ，﹣ 2 ） B ．（ 1 ， 2 ） C ．（﹣ 1 ，﹣ 2 ） D ．（﹣ 1 ， 2 ） 3 ．若关于 x 的一元二次方程 2 x 2 + x ﹣ m ＝ 0 有一个根为 1 ，则 m 的值为（　　） A ． 3 B ． 0 C ．﹣ 2 D ．﹣ 3 4 ．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 如图所示，则关于 x 的方程 ax 2 + bx + c ＝ 0 的根的情况为（　　） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有实数根 D ．没有实数根 5 ．如图，在 ⊙ O 中， AB 为直径， C ， D 为圆上的点，若∠ CDB ＝ 51 °，则∠ CBA 的大小为（　　） A ． 51 ° B ． 49 ° C ． 40 ° D ． 39 ° 6 ．如图， ⊙ O 的半径为 2 ，将 ⊙ O 的内接正六边形 ABCDEF 绕点 O 顺时针旋转，第一次与自身重合时，点 A 经过的路径长为（　　） A ． 2 B ． C ． D ． 4 π 7 ．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数 m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数 n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率 （结果保留小数点后三位） 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902 下列说法正确的是（　　） A ．若移植 10 棵幼树，成活数将为 8 棵 B ．若移植 270 棵幼树，成活数不会超过 235 棵 C ．移植的幼树越多，成活率越高 D ．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在 0.900 左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 0.900 8 ．如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ① 一个圆的“半径三角形”有无数个； ② 一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③ 当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 30 °， 120 °或 150 °； ④ 若一个圆的半径为 2 ，则它的“半径三角形”面积最大值为 ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A ． ①② B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①②④ 二、填空题（共 16 分，每题 2 分） 9 ．在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y ＝ 3 x 2 向下平移 1 个单位，得到的抛物线表达式 为 　 　 ． 10 ．如图，由 5 个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线 AB 和 EF 剪开后重组可得到矩形 ABCD ，那么 ② 可看作 ① 通过一次 　 　 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 11 ．若关于 x 的一元二次方程 ax 2 ＝ 16 有整数根，则整数 a 的值可以是 　 　 （写出一个即可）． 12 ．已知 y 是 x 的二次函数，表中列出了部分 y 与 x 的对应值： x 0 1 2 y 0 1 ﹣ 1 则该二次函数有 　 　 （填“最小值”或“最大值”）． 13 ．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图 1 所示是一个竹筒水容器，图 2 为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为 10 cm ，开口 AB 宽为 12 cm ，这个水容器所能装水的最大深度是 　 　 cm ． 14 ．如图， PA ， PB 是 ⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ， B ，∠ P ＝ 60 °．若 ⊙ O 的半径为 3 ，则图中阴影部分的面积为 　 　 （结果保留 π ）． 15 ．如图，将面积为 25 的正方形 ABCD 的边 AD 的长度增加 a ，变为面积为 22 的矩形 AEGF ．若正 方形 ABCD 和矩形 AEGF 的周长相等，则 a 的值是 　 　 ． 16 ．小云将 9 张点数分别为 1 ～ 9 的扑克牌以某种分配方式全部放入 A ， B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为 k ，这一事件的概率记为 P k ． （ 1 ）若将点数为 1 和 2 的扑克牌放入 A 袋，其余扑克牌放入 B 袋，则 P 8 ＝ 　 　 ； （ 2 ）对于所有可能的分配方式以及所有的 k ， P k 的最大值是 　 　 ． 三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分， 20 题 6 分，第 21-23 题，每题 5 分，第 24-26 题，每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 ．解方程： x 2 + x ＝ 1 ． 18 ．已知 2 a 2 ﹣ 3 a +1 ＝ 0 ，求代数式（ a ﹣ 3 ） 2 + a （ a +3 ）的值． 19 ．如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 45 °，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ AB ' C ' ，使点 B ' 在 BC 的延长线上．求证： BB ' ⊥ C ' B ' ． 20 ．已知关于 x 的方程 x 2 ﹣ 2 mx + m 2 ﹣ n ＝ 0 有两个不相等的实数根． （ 1 ）求 n 的取值范围； （ 2 ）若 n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的 2 倍，求 m 的值． 21 ．如图， P 是 ⊙ O 外一点， PA 与 ⊙ O 相切，切点为