2023-2024学年湖南省长沙市明德中学高二下学期开学考试数学试题（解析版）免费下载

2023-2024 学年湖南省长沙市明德中学高二下学期开学考试数学试题 一、单选题 1 ．已知互相垂直的平面 交于直线 l. 若直线 m ， n 满足 m∥α ， n⊥β ，则 A ． m∥l B ． m∥n C ． n⊥l D ． m⊥n 【答案】 C 【详解】 试题分析： 由题意知 ， ．故选 C ． 【解析】 空间点、线、面的位置关系． 【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 2 ．已知全集 ，集合 ， ，则（     ） A ．集合 的真子集有 8 个 B ． C ． U 中的元素个数为 7 D ． 【答案】 D 【分析】 根据已知条件求出集合 B ，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解 . 【详解】 因为 ，所以 因为集合 ，所以 A 的真子集有 共 7 个，故 A 错； 由 ， ，得 ，所以 ，故 B 错； 由 ，得 U 中的元素个数为 5 ，故 C 错； 由 ， ， 所以 ， 所以 ，故 D 对； 故选： D 3 ．已知甲､乙两组数据分别为： 和 ，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大 3 ，则（     ） A ．甲组数据的第 70 百分位数为 23 B ．甲､乙两组数据的极差不相同 C ．乙组数据的中位数为 24.5 D ．甲､乙两组数据的方差相同 【答案】 D 【分析】 根据已知平均数的关系求得 ，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可 . 【详解】 由题设得， ，解得 ， 甲组数据中 ，故第 70 百分位数为 24 ， A 错； 甲组数据的极差为 ，已组数据的极差为 ，所以甲､乙两组数据的极差相同，故 B 错； 乙组数据从小到大为 ，故其中位数为 ， C 错； 甲的平均数为 ， 乙的平均数为 ， 所以甲的方差为 ， 乙的方差为 ，故两组数据的方差相同， D 对 . 故选： D 4 ．在 中， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 本题可设 ，然后利用向量的数量积公式以及余弦定理得出 、 、 ，最后通过求出 、 、 即可得出结果 . 【详解】 设 ， 则 ， ， ， 即 ， ， ， 结合余弦定理易知， ， ， ， 联立 ，解得 ， ， ， 则 ， 故选： B. 5 ．过点 作圆 的两条切线 与圆 C 分别切于 A ， B 两点，则直线 的方程为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 将 化为标准方程，根据题意可知点 A ， B 在以 MC 为直径的圆上，由此得到以 MC 为直径的圆的方程，两圆方程相减可得答案 . 【详解】 由题意可得圆 的标准方程为： ，圆心为 ， 过点 作圆 的两条切线 与圆 C 分别切于 A ， B 两点，则 , 故点 A ， B 在以 MC 为