湖南省湘阴县知源高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题（原卷全解析版）

湖南省岳阳市 湘阴县知源高级中学 2023 届高三第二次月考 数学科试卷 满分： 150 分 考试时量： 120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ． 1 ． 已知集合 ， ，则  (    ) A. B. C. D. 2 ． 对于实数 ， ， ， “ ” 是 “ ” 的 (     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 ． 三个数 ， ， 的大小顺序是 (    ) A. B. C. D. 4 ．若实数 满足： ，则 的最小值为（         ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5 ． 函数 的图象大致为 (    ) A. B. C. D.   6 ．设函数 ，则满足不等式 的解集是（         ） A ． B ． C ． D ． 7 ．当 时，函数 取得最大值 2 ，则 （         ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知函数 ，若函数 恰好有 5 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（         ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 ． 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 ． 9 ． 下列求导错误的是 (    ) A. B. C. D. 10 ． 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 (    ) A. B. 不等式 的解集是 C. D. 不等式 的解集为 11 ．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 （单位： o ），环境温度是 （单位： o ），其中 则经过 分钟后物体的温度 将满足 且 ） . 现有一杯 的热红茶置于 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（         ）（参考数值 A ．若 ，则 B ．若 ，则红茶下降到 所需时间大约为 7 分钟 C ．若 ，则其实际意义是在第 3 分钟附近，红茶温度大约以每分钟 的速率下降 D ．红茶温度从 下降到 所需的时间比从 下降到 所需的时间多 12 ．函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 是奇函数，设 ， ，则以下结论正确的有（         ） A ．函数 的图象关于直线 对称 B ．若 的导函数为 ，定义域为 ，则 C ． 的图象关于点 中心对称 D ．设 为等差数列，若 ，则 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ．若函数 是幂函数，则实数 ______. 14 ． 求值：            ． 15 ．已知点 为曲线 上的动点，则 到直线 的最小距离为 ______. 16 ．设定义域为 的单调函数 ，对任意的 ，都有 ，若 是方程 的一个解，且 ，则实数 a =_____ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 17 ． （本小题满分 10 分） 已知函数 ． 求 的值； 在 中，若 ，求 的最大值． 18 ． （本小题满分 1 2 分） 已知在数列 中， ，且 . (1) 证明：数列 是等比数列 . (2) 求 的前 项和 . （本小题满分 1 2 分） 如图，已知长方形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 折起，使得平面 平面 1 求证： 2 若点 是线段 上的一动点，问点 在何位置时，二面角 的余弦值为 ． 20 ． （本小题满分 1 2 分） 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以 30 天计）的日销售价格 （元）与时间 x （天）的函数关系近似满足 （ k 为正常数）．该商品的日销售量 （个）与时间 x （天）的部分数据如下表所示： x / 天 10 20 25 30 / 个 110 120 125 120 已知第 10 天该商品的日销售收入为 121 元． (1) 求 k 的值； (2) 给出以下四种函数模型： ① ， ② ， ③ ， ④ ． 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间 x 的关系，并求出该函数的解析式； (3) 求该商品的日销售收入 （元）的最小值． 21 ． （本小题满分 1 2 分） 已知函数 的图象关于原点对称，其中 为常数． (1) 求 的值； (2) 当 时， 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围． 22 ． （本小题满分 1 2 分） 已知函数 . (1) 设 是函数 的极值点，求 的值并讨论 的单调性； (2) 当 时，证明： . 湘阴县知源高级中学 2023 届高三第二次月考 数学科试卷（答案） 一、单选题 1 ．【答案】 A 【详解】 已知集合 ， ，则 ，因此 故选 A ． 2 ．【答案】 B 【详解】 当 时，不能推出 ，当 ，可推出 ． 故 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件．故选： ． 3 ．【答案】 C 【详解】 ， ， ，故选 C ． 4 ．【答案】 A 【详解】因为 ，所以 ， 由基本不等式可得 ， 故 ，解得 或 （舍），即 当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为 1 ，故选： A. 5 ．【答案】 A 【详解】 函数 ，定义域为 ， 由 ，故 为奇函数，图象关于原点对称，故排除 ， ； 当 时， ，排除 ．故本题选 A ． 6 ．【答案】 D 【详解】函数 的图象如下图所示： 由图可知：函数 在 R 上单调递增，因为 ， 所以 等价于 ，故 ，即 ，故选： D 【答案】 C 【详解】因为 ，所以 ， 又当 时，函数 取得最大值 2 ， 所以 ， ，即 ，解得 ，