浙江省五校联盟
2023-2024
学年高三下学期
3
月联考
数学试卷
命题
:
浙江省杭州第二中学
一、选择题
:
本题共
8
小题
,
每小题
5
分
,
共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项符合题目要求
.
1.
若全集
,
集合
A,B
及其关系如图所示
,
则图中阴影部分表示的集合是
( )
A.
B.
C.
D.
2.
已知
,
且
,
则
与
的夹角的余弦值为
( )
A.
B.
C.
D.
3.
设
b
,
c
表示两条直线
,
表示两个平面
,
则下列说法中正确的是
( )
A.
若
,
则
B.
若
,
则
C.
若
,
则
D.
若
,
则
4.
已知角
的终边过点
,
则
( )
A.
B.
C.
D.
5.
设等比数列
的公比为
,
前
项和为
,
则
“
”
是
“
为等比数列
”
的
( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
6.
已知实数
x
,
y
满足
,
且
,
则
的最小值为
( )
A.
B.8
C.
D.
7.
已知双曲线
的左、右焦点分别为
,
点
为双曲线的左顶点
,
以
为直径的圆交双曲线的一条渐近线于
P
,
Q
两点
,
且
,
则该双曲线的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
8.
在等边三角形
ABC
的三边上各取一点
D
,
E
,
F
,
满足
,
则三角形
ABC
的面积的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题
:
本题共
3
小题
,
每小题
6
分
,
共
18
分
.
在每小题给出的选项中
,
有多项符合题目要求
.
全部选对的得
6
分
,
部分选对的得部分分
,
有选错的得
0
分
.
9.
在学校组织的《青春如火
,
初心如炬》主题演讲比赛中
,
有
8
位评委对每位选手进行评分
(
评分互不相同
),
将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分
,
则下列说法中正确的是
( )
A.
剩下评分的平均值变大
B.
剩下评分的极差变小
C.
剩下评分的方差变小
D.
剩下评分的中位数变大
10.
在三棱锥
中
,
已知
,
点
M
,
N
分别是
AD
,
BC
的中点，则
( )
A.
MN
⊥
AD
B.
异面直线
AN
,
CM
所成的角的余弦值是
C.
三棱锥
的体积为
D.
三棱锥
的外接球的表面积为
11.
已知函数
,
则
( )
A.
的零点为
B.
的单调递增区间为
C.
当
时
,
若
恒成立
,
则
D.
当
时
,
过点
作
的图象的所有切线
,
则所有切点的横坐标之和为
三、填空题
:
本题共
3
小题
,
每小题
5
分
,
共
15
分
.
12.
直线
的一个方向向量是
.
13.
甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军
,
比赛为
“
三局两胜
”
制
.
如果每局比赛中甲获胜的概率为
,
乙获胜的概率为
,
则在甲获得冠军的情况下
,
比赛进行了三局的概率为
.
14.
已知函数
及其导函数
的定义域均为
,
记
,
若
均为偶函数
,
且当
时
,
,
则
.
四、解答题
:
本题共
5
小题
,
共
77
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
15.(
本小题满分
13
分
)
如图
,
斜三棱柱
的底面是直角三角形
,
,
点
在底面
ABC
内的射影恰好是
BC
的中点
,
且
.
(I)
求证
:
平面
平面
;
(II)
若斜棱柱的高为
,
求平面
与平面
夹角的余弦值
.
16.(
本小题满分
15
分
)
己知函数
,
其中
.
(I)
若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等
,
求
的值
;
(II)
是否存在实数
,
使得
在
上的最大值是
-3?
若存在
,
求出
的值
;
若不存在
,
说明理由
.
17.(
本小题满分
15
分
)
记复数的一个构造
:
从数集
中随机取出
2
个不同的数作为复数的实部和虚部
.
重复
次这样的构造
,
可得到
个复数
,
将它们的乘积记为
.
已知复数具有运算性质
:
,
其中
.
(I)
当
时
,
记
的取值为
,
求
的分布列
;
(II)
当
时
,
求满足
的概率
;
(III)
求
的概率
.
18.(
本小题满分
17
分
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
我们把点
称为自然点
.
按如图所示的规则
,
将每个自然点
进行赋值记为
,
例如
,
.
(I)
求
;
(II)
求证
:
;
(III)
如果
满足方程
,
求
的值
.
19.(
本小题满分
17
分
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
过点
的直线
与抛物线
交于
M
,
N
两点
在第一象限
).
(I)
当
时
,
求直线
的方程
;
(II)
若三角形
OMN
的外接圆与曲线
交于点
(
异于点
O
,
M
,
N
),
(i)
证明
:△
MND
的重心的纵坐标为定值，并求出此定值
;
(ii)
求凸四边形
OMDN
的面积的取值范围
.
浙江省五校联盟
2023-2024
学年高三下学期
3
月联考
数学
答案
一、选择题
:
本题共
8
小题
,
每小题
5
分
,
共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项是符合要求的
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
C
A
C
A
二、选择题
:
本题共
3
小题
,
每小题
6
分
,
共
18
分
.
在每小题给出的选项中
,
有多项符合题目要求
.
全部选对的得
6
分
,
部分选对的得部分分
,
有选错的得
0
分
.
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ACD
三、填空题
:
本题共
3
小题
,
每小题
5
分
,
共
15
分
.
12.
(
答案不唯一
)
13.
14.-6
四、解答题
:
本大题共
5
小题
,
共
77
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
15.(
本小题满分
13
分
)(
第
I
问
,6
分
;
第
II
问
,7
分
)
解
:(I)
取
BC
中点为
,
连接
在底面内的射影恰好是
BC
中点
,
平面
ABC
,
又
平面
,
又
,
平面
平面
,
又
平面
平面
平面
.
(II)
以
为坐标原点
浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考数学试题（答案版）
