精品解析：浙江省杭州学军中学2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题

浙江省 杭州 市杭州 学军中学 2022 -2023 学年第一学期期中模拟考试 高二数学试题卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 ， ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 且 3. 在底面半径为 1 的圆柱 中，过旋转轴 作圆柱的轴截面 ABCD ，其中母线 AB =2 ， E 是弧 BC 的中点， F 是 AB 的中点，则（ ） A. AE = CF ， AC 与 EF 是共面直线 B. ， AC 与 EF 是共面直线 C. AE = CF ， AC 与 EF 是异面直线 D. ， AC 与 EF 是异面直线 4. 在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别是 和 ，则四边形 的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线 ，直线 与双曲线 C 交于 M ， N 两点，直线 与双曲线 C 交于 P ， Q 两点，若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱台 中，下底面 是直角三角形，且 ，侧面 与 都是直角梯形，且 ，若异面直线 AC 与 所成角为 ，则 BC 与平面 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 F 为抛物线 的焦点，点 A ， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， （其中 O 为坐标原点），则 与 面积之和的最小值是（ ） A B. 3 C. D. 8. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是 1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 己知 ，则以下坐标表示的点在平面 ABC 内的是（ ） A. B. C. D. 10. 瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的 “ 欧拉线 ” ．在平面直角坐标系中作 ， ，点 ，点 ，且其 “ 欧拉线 ” 与圆 相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的 “ 欧拉线 ” 方程为 B. 圆 上点到直线 的最大距离为 C. 若点 在圆 上，则 的最小值是 D. 若点 在圆 上，则 的最大值是 11. 已知抛物线 的焦点为 F ，过点 F 的直线交该抛物线于 ， 两点，点 T （ -1 ， 0 ），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若三角形 TAB 的面积为 S ，则 S 的最小值为 D. 若线段 AT 中点为 Q ，且 ，则 12. 如图，在五面体 中，底面 为矩形， 和 均为等边三角形， 平面 ， ， ，且二面角 和 的大小均为 ．设五面体 的各个顶点均位于球 的表面上，则（ ） A. 有且仅有一个 ，使得五面体 为三棱柱 B 有且仅有两个 ，使得平面 平面 C. 当 时，五面体 的体积取得最大值 D. 当 时，球 的半径取得最小值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 圆心在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切 圆的方程为 ___ ． 14. 已知正四棱柱 ， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ___________ . 15. 四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，已知 是四边形 内部一点，且二面角 的平面角大小为 ，则动点 的轨迹的长度为 ______ . 16. 已知椭圆 ， ， 为其左右焦点，动直线 l 为此椭圆 切线，右焦点 关于直线 l 的对称点 ， ，则 S 的取值范围为 _____________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知圆 ： . （ 1 ）若直线 与 交于 A ， 两点，线段 的中点为 ，求 ； （ 2 ）已知点 的坐标为 ，求过点 的圆 的切线 的方程 . 18. 如图，在四棱台 中，底面 正方形，若 ， ， ． （ 1 ）证明：平面 平面 ； （ 2 ）求二面角 的余弦值． 19. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ． （ 1 ）求四棱锥的总曲率； （ 2 ）若多面体满足：顶点数 - 棱数 + 面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数． 20. 已知双曲线 经过点 ，两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于 两点 . （ 1 ）求双曲线 的方程 . （ 2 ）若动直线 经过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的定点 ，使得以线段 为直径的圆恒过 点？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由 . 21. 正方形 ABCD 中， ，点 O 为正方形内一个动点，且 ，设 （ 1 ）当 时，求 的值； （ 2 ）若 P 为平面 ABCD 外一点，满足 ，记 ，求 的取值范围 . 22. 已知椭圆 过点 ，且以长轴和