四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 （原卷全解析版）

宜宾市四中 2023 年春期高一期中考试 数学试题 本试卷共 4 页， 22 小题，满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 第 Ⅰ 卷 选择题（ 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 A （ 2 ， 1 ）， B （ 3 ， 2 ）， C （－ 1 ， 4 ），则 △ ABC 是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 4. 设向量 ， 夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 （ ） A B. C. D. 5. 要得到函数 图象，只需把函数 的图象（ ） A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 6. 如图，在平行四边形 ABCD 中， ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D . 7. 已知函数 在 单调递增，在 单调递减，则 的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形 中， ， . 若点 为边 上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. （多选）下列说法中，正确的是（ ） A B. 若 ，则 C. 若 D. 若 ，则 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 图象关于直线 对称 D. 在 上单调递增 11. 在 中， ，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 12. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马 . 已知四棱锥 为阳马，底面 是边长为 2 的正方形，其中两条侧棱长都为 3 ，则（ ） A. 该阳马 体积为 B. 该阳马的表面积为 C. 该阳马外接球的半径为 D. 该阳马内切球的半径为 第 Ⅱ 卷 非选择题（ 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 函数 的定义域是 ________ 14. 已知向量 的夹角为 ，若 ，则 ________. 15. 在 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 ， ，且 的面积为 ，则 ______ ． 16. 如图，三棱柱 中，底面 ， ，三个侧面都是矩形， ， 为线段 上的一动点，则当 最小时， ______ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图所示，在 △ OAB 中， ， ， M ， N 分别是 OA ， OB 上的点，且 ， . 设 AN 与 BM 交于点 P ，用向量 表示 . 18. 已知函数 . （ 1 ）求 的单调递增区间； （ 2 ）当 时，求 的取值范围 . 19. 已知向量 ， ． （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 设 ， 的夹角为 ，求 的值； （ 3 ） 若向量 与 互相平行，求 k 的值． 20. 记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 （ 1 ） . 在 ① ， ② 这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题 . （ 1 ） 求 大小； （ 2 ） 若 的面积为 ，且 ，求 的周长 . 21. 已知 ，函数 ． （ 1 ）求函数 在区间 上的最大值和最小值； （ 2 ）若 ，求 的值； （ 3 ）若函数 在区间 上是单调递增函数，求正数 的取值范围． 22. 已知函数 . （ 1 ） 判断并证明 的奇偶性； （ 2 ） 若关于 x 的方程 在 内有实根，求实数 k 的取值范围； （ 3 ） 已知函数 ，若对 ， ，使得 成立，求实数 m 的最小值 . 宜宾市四中 2023 年春期高一期中考试 数学试题 本试卷共 4 页， 22 小题，满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 第 Ⅰ 卷 选择题（ 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D 【解析】 【分析】 运用复数除法的运算法则和复数加法的运算法则化简复数 ，最后判断出复数 在复平面内对应的点的位置. 【详解】 因为 ， 所以复数 在复平面内对应的点 在第四象限内. 故选： D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用余弦的二倍角公式可得答案 . 【详解】 . 故选： A. 3. 已知 A （ 2 ， 1 ）， B （ 3 ， 2 ）， C （－ 1 ， 4 ），则 △ ABC 是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用向量运算求得 ，由此判断出正确答案 . 【详解】 ， 由于 ，所以 ， 所以三角形 是直角三角形 . 故选： B 4. 设向量 ， 夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解 . 【详解】 因为向量 ， 夹角的余弦值为 ，且 ， ， 所以 . 所以 ． 故选： B. 5. 要得到函数 图象，只需把函数 的图象（ ） A.