重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题（原卷全解析版）

渝北中学 2023-2024 学年高三 11 月月考质量监测 数学 试题 （全卷共四大题 22 小题 总分 150 分 考试时长 120 分钟） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚 . 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰 . 3. 请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效 . 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知角 终边上有一点 ，则 是（     ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到 2 张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到 3 张纸片， …… ，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过 10 次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（ ） A. 33 B. 34 C. 36 D. 37 4. 设 ， 是两个平面，直线 与 垂直的一个充分条件是（ ） A 且 B. 且 C. 且 D. 且 5. 已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为 2 的等边三角形 中，点 为中线 的三等分点 靠近点 ，点 为 的中点，则 （     ） A. B. C. D. 7. 若 都是正实数，且 ，则 最小值为（     ） A. B. C. 4 D. 8. 若 ， 是函数 的两个不同的零点，且 ， ， 这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于 的不等式 的解集为（     ） A. { 或 } B. { 或 } C. { 或 } D. { 或 } 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 已知向量 ， ，且 ，则（ ） A. B. C. 向量 与向量 夹角是 D. 向量 在向量 上的投影向量坐标是 10. 如图，在棱长为 的正方体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ， ， ， 四点共面 B. 与 所成角的大小为 C. 若 M 线段 中点，则 平面 D. 在线段 上任取一点 ，三棱锥 的体积为定值 11. 已知函数 定义域为 ， 是奇函数， ，函数 在 上递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. B. 函数 在 上递减 C. 若 ，则 D. 若 ，则 12. 已知函数 的部分图象如图 1 所示， 分别为图象的最高点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ，点 为该部分图象与 轴的交点 . 将绘有该图象的纸片沿 轴折成直二面角，如图 2 所示，此时 ，则下列四个结论正确的有（ ） A. B. C. 图 2 中， D. 图 2 中， 是 及其内部的点构成的集合 . 设集合 ，则 表示的区域的面积大于 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______ ． 14. 正四棱锥 P － ABCD 的所有棱长均相等， E 是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与 PA 所成角的余弦值为 ______ . 15. 已知函数 在区间 上 值域为 ，则 ___________ . 16. 设函数 ， . 若 在区间 上有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ______ ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 是首项为 1 的等比数列，且 ， ， 成等差数列 . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 设 ， ，求数列 的前 项和 . 18. 内角 A ， B ， C 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， 的面积为 ． （ 1 ） 求 的值； （ 2 ） 若点 是边 上一点，且 ，求 的长． 19. 某商场对 ， 两类商品实行线上销售（以下称 “ 渠道 ” ）和线下销售（以下称 “ 渠道 ” ）两种销售模式． 类商品成本价为 120 元件，总量中有 40% 将按照原价 200 元 / 件的价格走 渠道销售，有 50% 将按照原价 8.5 折的价格走 渠道销售； 类商品成本价为 160 元 / 件，总量中有 20% 将按照原价 300 元 / 件的价格走 渠道销售，有 40% 将按照原价 7.5 折的价格走 渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价 6 折的价格销售，并能全部售完． （ 1 ） 通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）； （ 2 ） 某商场举行让利大甩卖活动，全场 ， 两类商品走 渠道销售，假设每位线上购买 ， 商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购 1 件，且购买商品的顾客中购买 类商品的概率为 ．已知该商场当天这两类商品共售出 5 件，设 为该商场当天所售 类商品的件数， 为当天销售这两类商品带来的总收益，求 和 的期望 ． 20. 如图，在几何体 中， 是边长为 2 的正三角形， D ， E 分别是 ， 的中点， ， 平面 ， ． （ 1 ） 若 ，求证： 平面 ； （ 2 ） 若 ，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 21. “ 太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦