山东省济宁市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题 （答案版）

山东省济宁市 2022 — 2023 学年 第一学期期 中质量检测 高三数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 给出的下列条件中能成为 的充要条件的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列 成等差数列，其前 n 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 函数 是偶函数，则 a ， b 的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ，若 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ，函数 的 图象 可以由函数 的 图象 先向左平移 个 单位长度，再将所得函数 图象 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到，若 是函数 的一个极大值点， 是与其相邻的一个零点，则 的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 7. 已知函数 ，且 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 设等比数列 的公比为 q ，其前 n 项和为 ，前 n 项积为 ，且满足条件 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. 为递减数列 B. C. 是数列 中的最大项 D. 10. 数学家们在探寻自然对数底 与圆周率 之间的联系时，发现了如下的公式： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 据此判断以下命题正确的是（ ）（已知 i 为虚数单位） A. B. C. D. 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图． 已知正 八边形 ABCDEFGH 的边长为 1 ， P 是正八边形 ABCDEFGH 边上任意 一点，则（ ） A. 与 能构成一组基底 B. C. 在 向量上 投影向量的模为 D. 的最大值为 12. 设定义在 R 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数 的图象关于 对称 C. D. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 设 ，则使得命题 “ 若 ，则 ” 为假命题的一组 的值是 ________ ． 14. 设函数 若 存在最小值， a 的取值范围 ___________ . 15. 若 △ 的边长 成等差数列，且边 a ， c 的等差中项为 1 ，则 的取值范围是 ________ ． 16. 定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 ．若在区间 上 ，则称函数 在区间 上为 “ 凹函数 ” ．已知 在区间 上为 “ 凹函数 ” ，则实数 a 的取值范围为 ___________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 命题 已知幂函数 在 上单调递增，且函数 在 上单调递增时，实数 a 范围为集合 A ﹔命题 关于 x 的不等式 的解集为 B ． （ 1 ） 若命 题 P 为真命题，求集合 A ； （ 2 ） 在（ 1 ）的条件下，若 是 的充分不必要条件．求实数 t 的取值范围． 18. 在 ① ， ② ， ③ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 __________ ． （ 1 ） 求角 B ； （ 2 ） 若 ，点 D 是 AC 的中点，求线段 BD 的取值范围． 19. 已知 ，抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A ，在点 A 处的切线在 y 轴上的截距为 （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 若 ，求数列 的前项和 ． 20. 2022 年夏季各地均出现了极端高温天气，空调便成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律．如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间 t 后的温度 T 满足 ，其中 是环境温度， h 称为半衰期，现将一杯 80 ℃ 的茶水放在 25 ℃ 的空调房间， 1 分钟后茶水降至 75 ℃ ．（参考数据： ， ） （ 1 ） 经研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在 55 ℃ ，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟 ? （保留整数） （ 2 ） 为适应市场需求， 2022 年某企业扩大了某型号 变频空调的生产，全年需投入固定成本 200 万元，每生产 x 千台空调，需另投入成本 万元，且 已知每台空调售价 3000 元，且生产的空调能全部销售完．问 2022 年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大 ? 并求出最大利润． 21. 已知函数 . （ 1 ） 求函数 的单调递增区间； （ 2 ） 若函数 在区间 上恰有 个 零点 ， （ i ）求实数 的取值范围； （ ii ）求 的值 . 22. 已知函数 ， ． （ 1 ） 讨论函数 极值点 个数； （ 2 ） 若 ，求证： ． 2022 — 2023 学年 第一学期期 中质量检测 高三数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【 1 题答案】 【答案】 B 【 2 题答案】 【答案】 D 【 3 题答案】 【答案】 C 【 4 题答案】 【答案】 D 【 5 题答案】