2023-2024
学年度上学期第一次月考
高二数学试题
本试卷满分
150
分,共
4
页
.
考试时间为
120
分钟
.
考试结束后,只交答题卡
.
一、单选题(本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分)
1.
焦点在
轴上,短轴长为
8
,离心率为
的椭圆的标准方程是()
A.
B.
C.
D.
2.
若直线
与直线
的交点在第一象限内,则实数
k
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
或
3.
若平面内两条平行线
:
,
:
间的距离为
,则实数
()
A.
2
B.
-
2
或
1
C.
-
1
D.
-
1
或
2
4.
当点
到直线
距离取得最大值时,
()
A.
B.
C.
D.
5.
已知三棱柱
的侧棱长为
2
,底面
是边长为
2
的正三角形,
,若
和
相交于点
M
.
则
()
A.
B.
2
C.
D.
6.
已知
、
满足
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
7.
直线
与圆
相交于
P
,
Q
两点.若
,则实数
k
的取值范围是()
A.
B.
C.
[
-
1
,
1]
D.
[
-
,
3]
8.
已知
是椭圆
的一个焦点,若直线
与椭圆相交于
两点,且
,则椭圆离心率的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分.每小题共给出四个选项,有多项符合题目要求.全部选对得
5
分,有选错的得
0
分,部分选对得
2
分.)
9.
已知空间向量
,
,下列说法正确的是()
A.
若
,则
B.
若
,则
C.
若
在
上的投影向量为
,则
D.
若
与
夹角为锐角,则
10.
已知点
,且点
在直线
上,则()
A.
存在点
,使得
B.
存在点
,使得
C.
的最小值为
D.
最大值为
11.
设直线
与圆
,则下列结论正确的为()
A.
可能将
的周长平分
B.
若圆
上存在两个点到直线
的距离为
1
,则
的取值范围为
C.
若直线
与圆
交于
两点,则
面积
最大值为
2
D.
若直线
与圆
交于
两点,则
中点
的轨迹方程为
12.
画法几何的创始人
——
法国数学家加斯帕尔
·
蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆
.
分别为椭圆的左、右焦点,直线
的方程为
为椭圆
的蒙日圆上一动点,
分别与椭圆相切于
两点,
为坐标原点,下列说法正确的是()
A.
椭圆
的蒙日圆方程为
B.
记点
到直线
的距离为
,则
的最小值为
C.
一矩形四条边与椭圆
相切,则此矩形面积最大值
6
D.
椭圆
的蒙日圆方程为
三、填空题(本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分.)
13.
已知经过椭圆
的右焦点
F
2
的直线
AB
交椭圆于
A
,
B
两点,
是椭圆的左焦点,则
的周长为
___________.
14.
已知
A
,
B
为圆
上的两点,
,
M
为
的中点,则
M
到直线
距离的最小值为
______
.
15.
已知点
,
是椭圆
内的两个点,
M
是椭圆上的动点,则
的最大值为
______
.
16.
已知椭圆
C
:
的离心率为
,
F
是左焦点,过
F
且倾斜角为
45°
的直线交
C
于点
A
,
B
.设
M
,
N
分别是
AF
和
BF
的中点,
O
为坐标原点,若
,则
的面积为
______
.
四、解答题(本题共
6
小题,共
70
分)
17.
已知
,
.
(
1
)若
,求
的值;
(
2
)若
,求实数
的值
.
18.
椭圆
的中心在坐标原点
,焦点在
轴上,椭圆
经过点
且短轴长为
2.
(
1
)求椭圆
的标准方程;
(
2
)过点
且倾斜角为
的直线
与椭圆
交于
,
两点,求线段
的长
.
19.
已知圆
M
过
C
(1
,﹣
1)
,
D
(
﹣
1
,
1)
两点,且圆心
M
在
x
+
y
﹣
2=0
上
.
(
1
)求圆
M
方程;
(
2
)设
P
是直线
3
x
+4
y
+8=0
上的动点,
PA
,
PB
是圆
M
的两条切线,
A
,
B
为切点,求四边形
PAMB
面积的最小值
.
20.
已知点
,圆
,点
在圆
上运动,
的垂直平分线交
于点
.
(
1
)求动点
的轨迹
的方程;
(
2
)直线
与曲线
交于
两点,且
中点为
,求直线
的方程
.
21.
如图,在四棱锥
中,底面
为菱形,
,
,
为线段
的中点,
为线段
上的一点
.
(
1
)证明:平面
平面
.
(
2
)若
,二面角
的余弦值为
,求
与平面
所成角的正弦值
.
22.
已知椭圆
E
:
的离心率为
,记
E
的右顶点和上顶点分别为
A
,
B
,
的面积为
1
(
O
为坐标原点).
(
1
)求
E
的方程;
(
2
)已知
,过点
D
的直线
与椭圆
E
交于点
M
,
N
(点
M
在第一象限),过点
M
垂直于
y
轴的直线
分别交
BA
,
BN
于
P
,
Q
,求
的值.
2023-2024
学年度上学期第一次月考
高二数学答案
本试卷满分
150
分,共
4
页
.
考试时间为
120
分钟
.
考试结束后,只交答题卡
.
一、单选题(本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分)
1.
焦点在
轴上,短轴长为
8
,离心率为
的椭圆的标准方程是()
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
【分析】先由题意得到椭圆焦点的位置,然后根据题中的数据求出
后可得所求的标准方程.
【详解】由题意知椭圆的标准方程为
,
且
,所以
,
所以
,
又
,
所以可得
,
因此椭圆的标准方程为
.
故选:
C.
2.
若直线
与直线
的交点在第一象限内,则实数
k
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
或
【答案】
C
【解析】
【分析】求出两直线的交
吉林省四平市四校联考2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(全解析版)