2019年江苏省高考数学试卷全解析版

2019 年江苏省高考数学试卷 一、填空题： 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1 ．已知集合 ， 0 ， 1 ， ， ， ，则 　　 ． 2 ．已知复数 的实部为 0 ，其中 为虚数单位，则实数 的值是 　　 ． 3 ．如图是一个算法流程图，则输出的 的值是 　　 ． 4 ．函数 的定义域是 　　 ． 5 ．已知一组数据 6 ， 7 ， 8 ， 8 ， 9 ， 10 ，则该组数据的方差是 　　 ． 6 ．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 　　 ． 7 ．在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点 ，则该双曲线的渐近线方程是 　　 ． 8 ．已知数列 是等差数列， 是其前 项和．若 ， ，则 的值是 　　 ． 9 ．如图，长方体 的体积是 120 ， 为 的中点，则三棱锥 的体积是 　　 ． 10 ．在平面直角坐标系 中， 是曲线 上的一个动点，则点 到直线 的 距离的最小值是 　　 ． 11 ．在平面直角坐标系 中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的切线经过点 ， 为自然对数的底数），则点 的坐标是 　　 ． 12 ．如图，在 中， 是 的中点， 在边 上， ， 与 交于点 ．若 ，则 的值是 　　 ． 13 ．已知 ，则 的值是 　　 ． 14 ．设 ， 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为 4 ， 的周期为 2 ，且 是奇函数．当 ， 时， ， 其中 ．若在区间 ， 上，关于 的方程 有 8 个不同的实数根，则 的取值范围是 　　 ． 二、解答题： 本大题共 6 小题，共计 90 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15 ．（ 14 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． （ 1 ）若 ， ， ，求 的值； （ 2 ）若 ，求 的值． 16 ．（ 14 分）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ． 求证：（ 1 ） 平面 ； （ 2 ） ． 17 ．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦点为 ， ．过 作 轴的垂线 ，在 轴的上方， 1 与圆 交于点 ，与椭圆 交于点 ．连结 并延长交圆 于点 ，连结 交椭圆 于点 ，连结 ．已知 ． （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）求点 的坐标． 18 ．（ 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ，湖上有桥 是圆 的直径），规划在公路 上选两个点 、 ，并修建两段直线型道路 、 ，规划要求：线段 、 上的所有点到点 的距离均不小于圆 的半径．已知点 、 到直线 的距离分别为 和 、 为垂足），测得 ， ， （单位：百米）． （ 1 ）若道路 与桥 垂直，求道路 的长； （ 2 ）在规划要求下， 和 中能否有一个点选在 处？并说明理由； （ 3 ）在规划要求下，若道路 和 的长度均为 （单位：百米），求当 最小时， 、 两点间的距离． 19 ．（ 16 分）设函数 ， ， ， ， 为 的导函数． （ 1 ）若 ， （ 4 ） ，求 的值； （ 2 ）若 ， ，且 和 的零点均在集合 ， 1 ， 中，求 的极小值； （ 3 ）若 ， ， ，且 的极大值为 ，求证： ． 20 ．（ 16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“ 数列”． （ 1 ）已知等比数列 满足： ， ，求证：数列 为“ 数列”； （ 2 ）已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前 项和． ①求数列 的通项公式； ②设 为正整数，若存在“ 数列” ，对任意正整数 ，当 时，都有 成立，求 的最大值． 【选做题】 本题包括 A 、 B 、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 . 若多做，则按作答的前两小题评分 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . A.[ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ] （本小题满分 10 分） 21 ．（ 10 分）已知矩阵 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求矩阵 的特征值． B.[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （本小题满分 10 分） 22 ．（ 10 分）在极坐标系中，已知两点 ， ， ，直线 1 的方程为 ． （ 1 ）求 ， 两点间的距离； （ 2 ）求点 到直线 的距离． C.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （本小题满分 1 0 分） 23 ．设 ，解不等式 ． 【必做题】 第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 24 ．（ 10 分）设 ， ， ．已知 ． （ 1 ）求 的值； （ 2 ）设 ，其中 ， ，求 的值． 25 ．（ 10 分）在平面直角坐标系 中，设点集 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．令 ．从集合 中任取两个不同的点，用随机变量 表示它们之间的距离． （ 1 ）当 时，求 的概率分布； （ 2 ）对给定的正整数 ，求概率 （用 表示）． 2019 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题： 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1 ．已知集合 ， 0 ， 1 ， ， ， ，则 　 ， 　 ． 【思路分析】 直接利用交集运算得答案． 【解析】： ， 0 ， 1 ， ， ， ， ， 0 ， 1 ， ， ， ．故答案为： ， ． 【归纳与总结】 本题考查交集及其运算，是基础题． 2 ．已知复数 的实部为 0 ，其中 为虚数单位，则实数 的值