江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题（答案版）

金陵中学、海安中学 2023 届高三 10 月第二次联考 数 学 2022.10 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 . 设集合 ， ， ，则 （ ） A . B. C. D. 2 . 为虚数单位，则 满足的方程是 （ ） A . B. C. D. 3 . 的展开式中 的系数为 （ ） A . 28 B. － 28 C. 56 D. － 56 4 . 设 为 所在平面内一点，且满足 ，则 （ ） A . B. C. D. 5 . 已知数列 ，若 ：数列 是等比数列； ： ，则 是 的 （ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 6 . 关于函数 其中 ，给出下列四个结论： 甲： 6 是该函数的零点； 乙： 4 是该函数的零点； 丙：该函数的零点之积为 0 ； 丁：方程 有两个不等的实根 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是 （ ） A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁 7 . 设常数 使方程 在区间 上恰有五个解 ，则 （ ） A . B. C. D. 8 . 设 ， 表示不超过 的最大整数，若存在实数 ，使得 ， ，…， 同时成立，则正整数 的最大值是 （ ） A . 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9 . 已知函数 ，则 （ ） A . 的最大值为 3 B . 的最小正周期为 C . 的图象关于直线 对称 D . 在区间 上单调递减 10 . 已知实数 ， ， 满足 且 ，则下列不等式关系一定正确的是 （ ） A . B. C. D. 11 . 已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，则 （ ） A . B. C . 若 ，则 D . 若 ，则 12 . 连接正方体每个面的中心构成一个正八面体 . 甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则 （ ） A . 甲选择的三个点构成正三角形的概率为 B . 甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为 C . 乙选择的三个点构成正三角形的概率为 D . 甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13 . 已知函数 ，不论 为何值，曲线 均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是 . 14 . 已知函数 ，若存在 ， ，使得 在区间 的最小值为 － 1 1 且最大值为 1 ，则符合条件的一组 ， 的值为 . 15 . 在数列 中， ， ，数列 满足 ， . 若 ， ， ，则数列 的前 2022 项和为 . 16 . 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，经过原点 且斜率 的直线与椭圆 交于 ， 两点， 的中点为 ， 的中点为 . 若 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17 . （ 10 分 ） 已知数列 是公比为 的等比数列，前 项和为 ，且满足 ， . （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 18 . （ 12 分 ） 在检测中为减少检测次数，我们常采取 “ 合 1 检测法 ” ，即将 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测 . 现有 人，已知其中有 2 人感染病毒 . （ 1 ）若 ，并采取 “ 10 合 1 检测法 ” ，求共检测 1 5 次的概率； （ 2 ）设采取 “ 5 合 1 检测法 ” 的总检测次数为 ，采取 “ 10 合 1 检测法 ” 的总检测次数为 ，若仅考虑总检测次数的期望值，当 为多少时，采取 “ 10 合 1 检测法 ” 更适宜 ？ 请说明理由 . 19 . （ 12 分 ） 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为边 上一点，若 . （ 1 ）证明：（ i ） 平分 ； （ ii ） ； （ 2 ）若 ，求 的最大值 . 20 . （ 12 分 ） 在一张纸上有一个圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆 上某一点 好与点 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 . （ 1 ）求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程； （ 2 ）设 ， 为曲线 上一点， 为圆 上一点（ ， 均不在 轴上） . 直线 ， 的斜率分别记为 ， ，且 ，求证：直线 过定点，并求出此定点的坐标 . 21 . （ 12 分 ） 已知底面 为菱形的直四棱柱，被平面 所截几何体如图所示，若 ， ， . （ 1 ）求点 到平面 的距离； （ 2 ）求锐二面角 的余弦值 . 22 . （ 12 分 ） 已知函数 ， ， . （ 1 ）若 在 存在极小值点，求 的取值范围； （ 2 ）若函数 有 3 个零点 ， ， （ ），求证： （ i ） ； （ ii ） . 金中、海安 2023 届高三年级 1 0 月第二次联考 数学 参考 答案 一 、单选题 1-5 ： CD BAA 6-8 ： BCA 8. 【答案】 A 【解析】 ， ， ， ， （ ， ， ， ） 当 时，可以找到 使其在区间 上， 当 时，无法找到 使